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第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
第六讲 函数的图象
练好题·考点自测
( )
=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称
=f(x)满足f(x+1)=f(x-1),则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称
∈(0,+∞)时,函数y=f(|x|)的图象与y=|f(x)|的图象相同
=f(1-x)的图象可由y=f(-x)的图象向左平移1个单位长度得到
2.[2020天津,5分]函数y=的图象大致为 ( )
3.[2018全国卷Ⅲ,5分]下列函数中,其图象与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是 ( )
=ln(1-x) =ln(2-x)
=ln(1+x) =ln(2+x)
4.[新课标全国Ⅰ,5分]设函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称,且f(-2)+f(-4)=1,则a= ( )
A.-1
5.[多选题]已知函数f(x)=设f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),且x1<x2<x3<x4,则下列结论正确的是 ( )
=1
+x4=1
<x1x2x3x4<1
+x2+x3+x4<0
(x)=|lg(x-1)|,若1<a<b且f(a)=f(b),则ab的取值范围是 . 
拓展变式
1.(1)[2020河南开封4月模拟]函数y=cos x+ln|x|的大致图象为 ( )
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(2)[2020山东临沂4月模拟]已知函数f(x)=x2-2x+1,x∈[1,4].当x=a时,f(x)取得最大值b,则函数g(x)=a|x+b|的大致图象为 ( )
图2-6-3
(3)[2020广州阶段模拟][平面向量与函数图象综合]如图2-6-3所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成的,它们的圆心分别是O,O1,O2,动点P从点A出发沿着圆弧按A→O→B→C→A→D→B的路线运动(其中A,O1,O,O2,B五点共线),记点P运动的路程为x,设y=||2,y与x的函数解析式为y=f(x),则y=f(x)的图象大致是( )
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2.(1)[2016全国卷Ⅱ,5分]已知函数 f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则(xi+yi)= ( )
(2)函数f(x)=lg x-sin x在(0,+∞)上的零点个数是 ( )
(3)已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax恒成立,则a的取值范围是 ( )
A.(-∞,0] B.(-∞,1]
C.[-2,1] D.[-2,0]
答 案
第六讲 函数的图象
由函数的性质知A正确,B错误;令f(x)=-x,则当x∈(0,+∞)时,f(|x|)=f(x)=-x,|f(x)|=x,f(|x|)≠|f(x)|,故C错误;y=f(-x)的图象向左平移1个单位长度得到y=f[-(x+1)]=f(-x-1)的图象,故D错误.
解法一 令f(x)=,显然f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数,排除C,D,由f(1)>0,排除B,故选A.
解法二 令f(x)=,由f(1)>0,f(-1)<0,结合选项可知A正确.
解法一 设所求函数图象上任意一点的坐标为(x,y),则其关于直线x=1对称的点的坐标为(2-x,y),由对称性知点(2-x,y)在函数y=ln x的图象上,所以y=ln(2-x).故选B.
解法二 由题意知,对称轴上的点(1,0)既在函数y=ln x的图象上,也在所求函数的图象上,代入选项中的函数表达式逐一检验,排除选项A,C,D,选B.
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设(x,y)是函数y=f(x)图象上任意一点,它关于直线y=-x对称的点为(-y,-x),由函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称,可知点(-y,-x)在y=的图象上,即-x=2-y+a,解得y=-log2(-x)+a,所以f(-2)+ f(-4)=-log22+a-log24+a=1,解得a=2,故选C.
作出函数f(x)的大致图象如图D 2-6-1所示,由图可知x3+x4=2,x1x2=1,所以A正确,B不正确;结合二次函数的性质知x1x2x3x4=x3x4=x3(2-x3)∈(0,1),所以C正确;x1+x2+x3+x4=x1+x2+2<-2+2=0,.
图D 2-6-1
6.(4,+∞) 画出函数f(x)=|lg(x-1)|的图象,如图D 2-6-2所示. 由1<a<b且f(a)=f(b)可得-lg(a-1)=lg(b-1),解得ab=a+b>2(由于a<b,故取不到等号),所以ab>4.
图D 2-6-2
1.(1)A 令f(x)=y=cos x+ln|x|,由f(-x)=cos(-x)+ln|-x|=cos x+ln|x|=f(x),可知f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,可排除选项B;由函数f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠0},可排除选项C;当x→+∞时,f(x)→+∞,.
(2)C 因为f(x)=x2-2x+1=(x-2)2-1,x∈[1,4],所以当x=4时,f(x)取得最大值,f(x)max=×(4-2)2-1=1.
由此可得a=4,b=1,所以g(x)=4|x+1|.于是可先作y=4x的图象,再将图象在y轴左侧的部分删去,保留图象在y轴上及y轴右侧的部分,并将y轴右侧的部分翻折到y轴左侧,得到y=4|x|的图象,最后将y=4|x|的图象向左平移1个单位长度,即得g(x)=4|x+1|的图象,
对照选项可知,.
(3)A 当x∈[0,π]时,y=∈(π,2π)时,因为=-,设与的夹角为θ,易知||=1,||=2,所以θ=x-π,所以y==(-)2=5-4cos θ=5+4cos x,x∈(π,2π),所以当x∈(π,2π)时,函数y=f(x)的图象是曲线,且单调递增,排除C,∈[2π,4π]时,因为=-,设与的夹角为α,易知||=2,||=1,所以α=2π-x,所以y=||2=(-)2=5-4cos α=5-4cosx,x∈[2π,4π],所以当x∈[2π,4π]时,函数y=f(x)的图象是曲线,且单调递减,排除B,故选A.
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2.(1)B 因为f(x)+f(-x)=2,y==1+,所以函数y=f(x)与y=的图象都关于点(0,1)对称,所以xi=0,yi=×2=m,所以(xi+yi)=m,故选B.
(2)C 函数f(x)=lg x-sin x的零点个数即函数y=lg x的图象和函数y=sin x的图象的交点个数,在同一平面直角坐标系中画出函数y=lg x和y=sin x的图象如图D 2-6-,函数y=lg x的图象和函数y=sin x的图象的交点个数为3,故选C.
图D 2-6-3
(3)D 由y=|f(x)|的图象(如图D 2-6-4所示)知,①当x>0时,只有a≤0时才能满足|f(x)|≥ax.②当x≤0时,
y=|f(x)|=|-x2+2x|=x2-|f(x)|≥ax得x2-2x≥=0时,不等式为0≥0,成立;当x<0时,不等式等价为x-2≤-2<-2,所以a≥-,a∈[-2,0].
图D 2-6-4