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高一数学
一、选择题（本题共9小题，每题4分，共36分）
1．若复数是纯虚数，则
A． B．2 C． D．4
2．已知的三个角A,B，C的对边分别为a，b，c，且，
，则C =
A． B． C． D．
3．设向量，且，则
A．0 B．1 C．2 D．3
4．若用平行于某圆锥底面的平面去截该圆锥，得到的小圆锥与圆台的母线长相等，则该小圆锥与该圆台的侧面积的比值为
A． B． C． D．
5．在锐角中，已知，，，则△ABC的面积为
A． B．或 C． D．
6．若，且，那么△ABC是
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
7．在四边形中，，且，则
A． B． C． D．
8．等腰梯形ABCD中，，，，，点是线段上的一
点，为直线上的动点，若，，且·=，则·最大值为
A． B． C． D．
9．已知圆O的半径为2，A、B是圆上两点且∠AOB＝，MN是一条直径，点C在圆内且满足＝λ+（1﹣λ）（0＜λ＜1），则•的最小值为
A．﹣2 B．﹣1
C．﹣3 D．﹣4
二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分第15题2分+3分）
10．已知复数z满足z＝(－1＋3i)·(1－i)－4，复数z的共轭复数_____________.
11．已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为_____________
12．若是锐角三角形的三边长，则a的取值范围是_____________
13．已知四棱锥P﹣ABCD满足PA＝PB＝PC＝PD＝AB＝2，且底面ABCD为正方形，则该四棱锥的外接球的体积为___．
14．已知为的重心，过点的直线与边，分别相交于点，．若，则当△与的面积之比为时，实数的值为___．
15．已知正方体的棱长为2，点，分别是棱，的中点，则点到平面的距离是___；若动点在正方形（包括边界）内运动，且平面，则线段的长度范围是___．
三、解答题（本题共4小题，共54分）
16．（本小题满分12分）已知向量与的夹角，且，．
（1）求，；
（2）求与的夹角的余弦值．
（3）若，求 在 上的投影向量.
17．（本小题满分13分）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．
（1）求证：；
（2）求证：平面．
18．（本小题满分14分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝2，且S△ABC＝2，求△ABC的周长
19．（本小题满分15分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c ．
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围．
天津市2020～2021学年度第二学期期中七校联考
高一数学参考答案
出题学校：宝坻一中 外大附校
一．选择题（共9小题）
1．A； 2．A； 3．A； 4．B； 5．C； 6．B； 7．D； 8．B； 9．C；
二．填空题（共6小题）
10．－2－4i； 11．48； 12．a>3；
13．； 14． 或 ； 15．，[，]．；
三、解答题（本题共5小题）
16.（1）由已知，得， ..............（2分）
；（4分）
（2）设与的夹角为，
则，
因此，与的夹角的余弦值为. .......................................（8分）
...................................................................................................................（12分）
17．证明：（1）在四棱锥中，平面，
平面，
平面平面，
． ........................................................................（6
分）
（2）取的中点，连接，，
是的中点，
，，
又由（1）可得，且， ............................................（9分）
，，
四边形是平行四边形，
，
平面，平面，
平面． ......................................................（13分）
18．
解：（1）由，
利用正弦定理可得：（a+c）（c﹣a）＝b（c﹣b），
化为：c2+b2﹣a2＝bc，
∴cosA＝＝，
∵A∈（0，π），
∴A＝． .......................................................................（7分）
（2）∵a＝2，且S△ABC＝2，
∴＝c2+b2﹣bc，bcsin＝2，
化为：（b+c）2＝3bc+12＝3×8+12＝36，
解得b+c＝6，∴△ABC周长为6+2 ........................................（14分）
19．
（1）由
所以，可得， ..................（4分）
即．
由余弦定理得，
又，所以． .....................................（7分）
（2）由
.....................................（10分）
． ..............................（12分）
因为，所以，
又，所以，
所以，得，
所以，
所以． .............................................................（15分）