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含“新信息”背景的数列问题,常常有图表迁移、新运算、新概念、:一是对于新的概念与规则,学生在处理时会有一个熟悉的过程,,传统题目通常在问法上就直接表明该用哪些知识进行处理,例如“求通项”“求和”,但因为新信息问题与新信息相关,所以要运用的知识隐藏得较深,,即前面问题的处理是为了给最后一问做好铺垫.
1(1)[2020·全国卷Ⅱ]0-…an…满足ai∈{0,1}(i=1,2,…),且存在正整数m,使得ai+m=ai(i=1,2,…)成立,则称其为0-1周期序列,并称满足ai+m=ai(i=1,2,…)-1序列a1a2…an…,C(k)=1m∑i=1maiai+k(k=1,2,…,m-1)-1序列中,满足C(k)≤15(k=1,2,3,4)的序列是 ( )
… … … …
(2)图W1-1是某省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图.
若该省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例数按日期顺序排列构成数列{an},{an}的前n项和为Sn,则下列说法中正确的是 ( )
图W1-1
{an}是递增数列
{Sn}是递增数列
{an}的最大项是a11
{Sn}的最大项是S11
微点2 数列与函数的综合
数列与函数的综合问题的解题策略:
(1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、图像研究数列问题;
(2)已知数列条件,解决函数问题,一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.
另外要注意数学思想方法的应用,如函数与方程思想等.
2(1)若数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且满足a1+a2020=27,b1·b2020=2,函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)且f(x)=ex,x∈[0,2],则fa1010+a10111+b1010b1011=( )
-1
(2)已知数列{an}满足对任意n∈N*,an∈0,π2,且a1=π3,f(an+1)=f'(an),其中f(x)=tanx,则使得sina1·sina2·…·sinak<110成立的最小正整数k为 . 
微点3 数列与解析几何的综合
数列与解析几何的综合,主要从探究数列递推关系开始,其步骤是:①探究递推公式;②,其突破口是探究点与点的关系,挖掘数列的递推关系.
3两光滑的曲线相切,-2所示,一列圆Cn:x2+(y-an)2=rn2(an>0,rn>0,n=1,2,…)逐个外切,且均与曲线y=x2相切,若r1=1,则a1= ,rn= . 
图W1-2
微点4 数列与平面向量的综合
4(1)如图W1-3,已知点E是平行四边形的边AB的中点,Fn(n∈N*)为边BC上的一列点,连接AFn交BD于Gn,点Gn满足GnD=an+1·GnA-2(2an+3)·GnE,其中数列{an}是首项为1的正项数列,Sn是数列{an}的前n项和,则下列结论正确的是 ( )
图W1-3
=15
{an+3}是等比数列
=4n-3
=2n+1-n-2
(2)设Sn,Tn分别为等差数列{an},{bn}的前n项和,且SnTn=3n+24n+,点P是直线BC上一点,且AP=a1+a4b3·AB+λAC,则实数λ的值为 ( )
B.-325 D.-1825
(x)=1-4x,x≤0,1+log3x,x>0,在等差数列{an}中,a7=7,a9=11,则f(a8)= ( )
{an}的首项a1=2,且点(an,an+1)在直线x-y=2上,则数列{an}的前n项和Sn等于 ( )
-1 B.-n2+3n
+1 -3n
{an}中,a1=1,若OP=(an+1,-1),OQ=(1,an+2),且OP⊥OQ,Sn为数列{an}的前n项和,令bn=1Sn+n,若数列{bn}的前n项和为Tn,则Tn= ( )
+1 +1n+2
+2n+3 +3n+4
(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对于任意正数x,y均有f(xy)=f(x)+f(y),已知f(2)=1,若一个各项均为正数的数列{an}满足f(Sn)=f(an)+f(an+1)-1(n∈N*),其中Sn是数列{an}的前n项和,令bn=1anan+1,数列{bn}的前n项和为Tn,则T2020的值为 ( )
{an}满足:存在正整数T,对于任意正整数n都有an+T=an成立,则称数列{an}为周期数列,{an}满足a1=m(m>0),an+1=an-1,an>1,1an,0<an≤1,则下列结论中错误的是 ( )
=4,则m可以取3个不同的值
=2,则数列{an}是周期为3的数列
∈N*且T≥2,存在m>1,使得{an}是周期为T的数列
∈Q且m≥2,使得数列{an}是周期数列
{an},令Pn=1n(a1+2a2+…+2n-1an)(n∈N*),则称{Pn}为{an}的“伴随数列”.已知数列{an}的“伴随数列”{Pn}的通项公式为Pn=2n+1(n∈N*),记数列{an-kn}的前n项和为Sn,若Sn≤S4对任意的正整数n恒成立,则实数k的取值范围为 . 
(i=1,2,…,n)按次序排列成一列,称为向量列,记作{an}.已知向量列{an}满足:a1=(1,1),an=(xn,yn)=12(xn-1-yn-1,xn-1+yn-1)(n≥2),设θn表示向量an-1与an的夹角,若bn=n2πθn,对于任意正整数n,不等式1bn+1+1bn+2+…+1b2n>12loga(1-2a)恒成立,则实数a的取值范围是 . 
(Newton'smethod)又称为牛顿-拉夫逊方法(Newton-Raphsonmethod),-4,设r是f(x)=0的根,选取x0作为r的初始近似值,过点(x0,f(x0))作曲线y=f(x)的切线l,l与x轴的交点的横坐标x1=x0-f(x0)f'(x0)(f'(x0)≠0),称x1是r的一次近似值,过点(x1,f(x1))作曲线y=f(x)的切线,则该切线与x轴的交点的横坐标为x2=x1-f(x1)f'(x1)(f'(x1)≠0),称x2是r
,+1次近似值与r的n次近似值的关系式 .若f(x)=x2-2,取x0=1作为r的初始近似值,试求f(x)=0的一个根2的三次近似值 (请用分数作答). 
图W1-4
微专题一 数列与其他知识的综合
微点1
例1 (1)C (2)C [解析](1)对于A选项,C(1)=15∑i=15aiai+1=15×(1+0+0+0+0)=15,
C(2)=15∑i=15aiai+2=15×(0+1+0+1+0)=25>15,不满足题意;
对于B选项,C(1)=15∑i=15aiai+1=15×(1+0+0+1+1)=35>15,不满足题意;
对于C选项,C(1)=15∑i=15aiai+1=15×(0+0+0+0+1)=15,
C(2)=15∑i=15aiai+2=15×(0+0+0+0+0)=0,
C(3)=15∑i=15aiai+3=15×(0+0+0+0+0)=0,
C(4)=15∑i=15aiai+4=15×(1+0+0+0+0)=15,满足题意;
对于D选项,C(1)=15∑i=15aiai+1=15×(1+0+0+0+1)=25>15,.
(2)因为1月28日的新增确诊病例数小于1月27日的新增确诊病例数,即a7>a8,所以{an}不是递增数列,所以选项A错误;因为2月23日新增确诊病例数为0,所以S33=S34,所以数列{Sn}不是递增数列,所以选项B错误;因为1月31日新增确诊病例数最多,从1月21日算起,1月31日是第11天,所以数列{an}的最大项是a11,所以选项C正确;数列{Sn}的最大项是S35,.
微点2
例2 (1)A (2)298 [解析](1)因为数列{an}为等差数列,且a1+a2020=27,所以a1010+a1011={bn}为等比数列,且b1·b2020=2,所以b1010b1011=2,所以a1010+a10111+b1010b1011=273=(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期为4,又f(x)=ex,x∈[0,2],所以f(9)=f(2×4+1)=f(1)=e,即fa1010+a10111+b1010b1011=.
(2)f(x)=tanx=sinxcosx,f'(x)=cos2x+sin2xcos2x=1+tan2x.
∵f(an+1)=f'(an),∴tanan+1=1+tan2an,
即tan2an+1-tan2an=1,
∴数列{tan2an}是首项为3,公差为1的等差数列,
∴tanan=n+2.
∵an∈0,π2,∴sinan=n+2n+3,
∴sina1·sina2·…·sinak=34×45×56×…×k+2k+3=3k+3,由3k+3<110,
解得k>297,
∴使得sina1·sina2·…·sinak<110成立的最小正整数k为298.
微点3
例3 54 n [解析]当r1=1时,圆C1:x2+(y-a1)2=1,将圆C1的方程与y=x2联立,消去x得y2-(2a1-1)y+a12-1=0,则Δ=(2a1-1)2-4(a12-1)=0,解得a1=≥2时,an=an-1+rn-1+rn①.将x2+(y-an)2=rn2与y=x2联立,消去x得y2-(2an-1)y+an2-rn2=0,则Δ=(2an-1)2-4(an2-rn2)=0,整理得an=rn2+14,代入①得rn2+14=rn-12+14+rn-1+rn,整理得rn-rn-1=1,则rn=r1+(n-1)=n.
微点4
例4 (1)B (2)B [解析](1)∵E为AB的中点,∴2GnE=GnA+GnB,∴GnB=-GnA+∵D,Gn,B三点共线,∴GnD=λGnB=-λGnA+∵GnD=an+1·GnA-2(2an+3)·GnE,∴-λ=an+1,2λ=-2(2an+3),可得an+1=2an+3,∴an+1+3=2(an+3),∴数列{an+3}∵a1=1,∴an+3=(1+3)×2n-1,∴an=2n+1-3,∴a3=13,Sn=4(1-2n)1-2-3n=2n+2-3n-.
(2)由题知Sn,Tn分别为等差数列{an},{bn}的前n项和,且SnTn=3n+24n+5,不妨取Sn=3n2+2n,Tn=4n2+5n,当n=1时,a1=S1=5,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n-1,验证得当n=1时上式成立,所以数列{an}的通项公式为an=6n-1,同理可得,数列{bn}的通项公式为bn=8n+1,
则a1+a4b3=,可设BP=kBC,则AP=AB+BP=AB+kBC=AB+k(AC-AB)=(1-k)AB+kAC=2825AB+λAC,所以1-k=2825,所以λ=k=-.
【强化训练】
[解析]在等差数列{an}中,a7=7,a9=11,可得a8=7+112=9,所以f(a8)=f(9)=1+log39=.
[解析]由点(an,an+1)在直线x-y=2上,可得an-an+1=2,即an+1-an=-2,所以数列{an}是首项为2,公差为-2的等差数列,则Sn=2n+12n(n-1)·(-2)=3n-.
[解析]∵OP=(an+1,-1),OQ=(1,an+2),且OP⊥OQ,
∴an+1=an+2,又a1=1,∴数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,
∴an=1+2×(n-1)=2n-1,∴Sn=(a1+an)n2=n2,∴bn=1Sn+n=1n2+n=1n-1n+1,∴Tn=11-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1=1-1n+1=nn+.
[解析]由题意可知当n∈N*时,f(Sn)+1=f(an)+f(an+1),即f(Sn)+f(2)=f(an)+f(an+1),故f(2Sn)=f[an·(an+1)],即2Sn=an·(an+1)=an2+=1时,2a1=2S1=a1·(a1+1),得a1=≥2时,由2Sn=an2+an,可得2Sn-1=an-12+an-1,两式相减,可得2an=2Sn-2Sn-1=an2+an-an-12-an-1,整理得(an+an-1)(an-an-1-1)=0,∵an+an-1>0,∴an-an-1-1=0,即an-an-1=1,故数列{an}是以1为首项,1为公差的等差数列,∴an=1+1·(n-1)=n,n∈N*,∴bn=1anan+1=1n(n+1),∴T2020=b1+b2+…+b2020=11×2+12×3+…+12020×2021=1-12+12-13+…+12020-12021=1-12021=.
[解析]对于A,若a3=4,因为an+1=an-1,an>1,1an,0<an≤1,所以当a2>1时,a2-1=a3=4,解得a2=5,当a1>1时,a1-1=a2=5,解得a1=6,当0<a1≤1时,1a1=a2=5,解得a1=15;当0<a2≤1时,1a2=a3=4,解得a2=14,当a1>1时,a1-1=a2=14,解得a1=54,当0<a1≤1时,1a1=a2=14,解得a1=4,不合题意,,,若m=2,则a2=a1-1=2-1,a3=1a2=2+1,a4=a3-1=2,…,所以an+3=an,则数列{an}是周期为3的数列,,D,先考虑数列{an}=k+a,k∈N*,0<a≤1,那么a2=k-1+a,a3=k-2+a,…,ak+1={an}有周期性,只需要ak+2=1a=a1=k+=k+a,即a2+ka-1=0的正根为a=-k+k2+42∈(0,1),所以a一定存在,从而存在m=k+a,使得数列{an}的周期为k+1.
对于C,为了使数列的周期为T,只需取k=T-1≥1,a=-k+k2+42即可,此时m>1,故C中结论正确.
对于D,如果存在这样的m,那么由前面的分析知必有m=k+a,k∈N*,0<a≤1,且a=-k+k2+42∈Q,于是有k2+4∈Q,这是不可能的,故D中结论错误.
,52 [解析]由题意得a1+2a2+…+2n-1an=n·2n+1①,所以a1=1×22=4,a1+2a2+…+2n-2an-1=(n-1)·2n(n≥2)②,由①-②得2n-1an=n·2n+1-(n-1)·2n(n≥2),所以an=2n+2(n≥2),当n=1时也满足上式,所以
an=2n+2(n∈N*).因此数列{an-kn}的前n项和Sn=12n(4-k+2n+2-kn)=12n(6-k+2n-kn),因为Sn≤S4对任意正整数n恒成立,所以2-k<0,4(2-k)+2≥0,5(2-k)+2≤0,所以125≤k≤52.
7.(0,2-1) [解析]因为cosθn=an-1·an|an-1||an|=(xn-1,yn-1)·(12(xn-1-yn-1),12(xn-1+yn-1))xn-12+yn-12×[12(xn-1-yn-1)] 2+[12(xn-1+yn-1)] 2=12xn-12+12yn-12xn-12+yn-12×12xn-12+12yn-12=22,所以θn=π4,故bn=n24,1bn+1+1bn+2+…+1b2n=2n+1+2n+2+…+(n)=2n+1+2n+2+…+22n,则f(n+1)-f(n)=2n+2+2n+3+…+22(n+1)-2n+1+2n+2+…+22n=22n+1-22n+2>0,所以f(n)单调递增,所以f(n)min=f(1)=1,则1>12loga(1-2a).因为a>0且a≠1,1-2a>0,所以0<a<12,则1-2a>a2,解得-1-2<a<-1+2,故实数a的取值范围为(0,2-1).
+1=xn-f(xn)f'(xn)(f'(xn)≠0) 577408 [解析]由题设可得x1=x0-f(x0)f'(x0)(f'(x0)≠0),x2=x1-f(x1)f'(x1)(f'(x1)≠0),x3=x2-f(x2)f'(x2)(f'(x2)≠0),依次类推,则可得xn+1=xn-f(xn)f'(xn),其中f'(xn)≠(x)=x2-2,所以xn+1=xn-xn2-22xn=xn2+22xn(xn≠0),
因为x0=1,故x1=32,x2=1712,x3=577408.