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一、有界性与最大值最小值定理
二、零点定理与介值定理
*三、一致连续性
闭区间上连续函数的性质
第一章
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精选课件
学习指导
１．教学目的：了解闭区间上连续函数的性质。
２．根本练习：了解并通过一定的练习学习最大最小值定理、有界性定理、零点定理及介值定理在函数值的估计和根的估计上的应用。
3．本卷须知：闭区间上连续的函数有许多好的性质。应了解在闭区间上连续函数的最大最小值定理、有界性定理、零点定理及介值定理。了解定理的条件和结论，并通过一定的练习学会运用它们．
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精选课件
如果函数f(x)在开区间(a,b)内连续,在右端点b左连续,在左端点a右连续,那么函数f(x)就是在闭区间[a,b]上连续的。
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精选课件
并非任何函数都有最大值和最小值
例如，函数f(x)=x在开区间(a b)内既无最大值又无最小值
应注意的问题:
一、有界性与最大值最小值定理
最大值与最小值
对于在区间I上有定义的函数f(x) 如果有x0I 使得对于任一xI都有
f(x)f(x0) (f(x)f(x0))
那么称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)
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精选课件
例如,
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精选课件
说明:
定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值
又至少有一点x2[a b] 使f(x2)是f(x)在[a b]上的最小值
至少有一点x1[a b] 使f(x1)是f(x)在[a b]上的最大值
定理说明 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续 那么
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精选课件
应注意的问题:
如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值
例如 函数f(x)=x在开区间(a b)
内既无最大值又无最小值
定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值
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精选课件
又如 如下函数在闭区间[0 2]
内既无最大值又无最小值
应注意的问题:
如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值
定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值
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精选课件
定理2(有界性定理)
在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界
证明 设函数f(x)在闭区间[a b]上连续
根据定理1 存在f(x)在区间[a b]上的最大值M和最小值m 使任一x[a b]满足
mf(x)M
上式说明 f(x)在[a b]上有上界M和下界m  因此函数f(x)在[a b]上有界
定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值
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精选课件
有界性与最大值最小值定理:在闭区间上连续的函数有界且一定有最大值和最小值.
注意:, 定理不一定成立;
, 定理不一定成立.
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精选课件