两角和与差的正弦、余弦和正切公式.ppt

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一、课题导入
某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上。-1所示,小山高BC约为30米,在地平面上有一点A,测得A，C两点间距离约为67米，从A观测电视发射塔的视角（ ）约为 。求这座电视发射塔的高度。
A
B
C
D
67
30
-1
解:设电视塔高CD= 米， = 则 = 在 中，
能否用 把
表示出来呢？
一般地说，对于任意角 ， ，能不能用 ， 的三角函数值把 或者
的三角函数值表示出来呢？
下面我们来研究如何用任意角 ， 的正弦、余弦值来表示 的问题。
二、新课讲解
吗？
很明显：
所以对任意的 、 ，
不成立。
思考：
证法一、用单位圆上的三角函数线证明
y
x
O
M
A
B
C
如右图：设角 的终边与单位圆的交点为 ，
则
过点P作PM垂直于x轴，垂足为M，那么OM是角
的余弦线。
思考：如何用角 ， 的正弦线、余弦线来表示OM？
过点P作PA垂直于O ，垂足为A，过点A作AB垂直于x轴，垂足为B，过点P作PC垂直于AB，垂足为C。则OA= ，AP= 并且
于是 OM=OB+BM
=OB+CP
=OA +AP =
证法二、用向量的方法证明
即
x
y
O
B
A
1
如右图：则
由向量数量积的定义，有
由向量数量积的坐标表示，有
（1）
（2）
由（1）和（2）得
由向量数量积概念知：
但 都是任意角， 也是任意角，那么证法二正确吗？
当 是任意角时，由诱导公式，总可以找到一个角 ，使
则
当
时，则
当 时，则 且
对于任意角 ， 都有
（ ）
（一）两角差的余弦公式
作用：知 ， ， ， 的值可 求
例1 利用差角余弦公式求 的值。
想一想：有几种拆分方法？
解法一：
解法二：