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一、平面图形的认识（二）压轴解答题
1．如图1，直线CB∥OA，∠A=∠B=120°，E ,F在BC上，且满足∠FOC =∠AOC，并且OE平分∠BOF．
（1）求∠AOB及∠EOC的度数；
（2）如图2，若平行移动AC，那么∠OCB: ∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值；
2．如图
（1）问题情境：
如图1，已知AB∥CD，∠APC=108°。求∠PAB+∠PCD的度数。
经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得∠PAB+∠PCD=________。
（2）问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β。
当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由。
（3）如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合)，请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系。
（4）问题拓展：
如图4，MA1∥NAn ， A1-B1-A2-…-Bn-1-An ， 是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为________ 。
3．如图，已知AM//BN，∠A=（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN.
（1）求∠ABN的度数
（2）当点P运动时，∠CBD的度数是否随之发生变化？若不变化，请求出它的度数。若变化，请写出变化规律.
（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数。
4．如图1，已知点A，点D在BC上方，过点A，D分别作CD，AB的平行线，两条平行线交于点M(点M在BC下方)，且与BC分别交于E，F两点，连结AD。
（1）∠BAM与∠CDM相等吗？请说明理由。
（2）根据题中条件，判断∠AEF，∠DFE，∠BAE三个角之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，Q是AD下方一点，连结AQ，DQ，且∠DAQ= ∠BAD，∠ADQ= ∠ADC，若∠AQD=112°，请直接写出∠BAE的度数。
5．小英和小倩站在正方形的对角A，C两点处，小英以2米/秒的速度走向点D处，途中位置记为P，小倩以3米/秒的速度走向点B处，途中位置记为Q，假设两人同时出发，已知正方形的边长为8米，E在AB上，AE=6米，记三角形AEP的面积为S1平方米，三角形BEQ的面积为S2平方米，如图所示．
（1）她们出发后几秒时S1=S2；
（2）当S1+S2=15时，小倩距离点B处还有多远？
6．[感知发现]：如图，是一个“猪手”图，AB∥CD，点E在两平行线之间，连接BE，DE ，我们发现：∠E=∠B+∠D
证明如下：过E点作EF∥AB．
  ∠B=∠1(两直线平行，内错角相等．）
又 AB∥CD(已知）
  CD∥EF(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 
  ∠2=∠D(两直线平行，内错角相等．）
  ∠1+∠2=∠B+∠D(等式的性质1．）
 即：∠E=∠B+∠D
（1）[类比探究]：如图是一个“子弹头”图，AB∥CD，点E在两平行线之间，连接BE，DE．试探究∠E+∠B+∠D=360°．写出证明过程．
（2）[创新应用]：(1)．如图一，是两块三角板按如图所示的方式摆放，使直角顶点重合，斜边平行，请直接写出∠1的度数．(2)．如图二，将一个长方形ABCD按如图的虚线剪下，使∠1=120 ，∠FEQ=90°． 请直接写出∠2的度数．
7．
（1）如图1，AB∥CD，∠A=38°，∠C=50°，求∠APC的度数．（提示：作PE∥AB）．
（2）如图2，AB∥DC，当点P在线段BD上运动时，∠BAP=∠α，∠DCP=∠β，求∠CPA与∠α，∠β之间的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，如果点P在段线OB上运动，请你直接写出∠CPA与∠α，∠β之间的数量关系________．
8．课题学行线的“等角转化功能.
（1）问题情景：如图1，已知点 是 外一点，连接 、 ，求 的度数.
                
天天同学看过图形后立即想出： ，请你补全他的推理过程.
解：（1）如图1，过点 作 ，∴ ________， ________.
又∵ ，∴ .
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”功能，将 ， ， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决.
（2）问题迁移：如图2， ，求 的度数.
（3）方法运用：如图3， ，点 在 的右侧， ，点 在 的左侧， ， 平分 ， 平分 ， 、 所在的直线交于点 ，点 在 与 两条平行线之间，求 的度数.
9．在 中， 为直线AC上一点，E为直线AB上一点，
（1）如图1，当D在AC上，E在AB上时，求证 ；
（2）如图2，当D在CA的延长线上，E在BA的延长线上时，点G在EF上，连接AG，且 ，求证：
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG,当BG平分 时，将 沿着AG折至 探究 与 的数量关系．
10．如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上连接AB,AB的长为a，其中a是不等式 的最大整数解
（1）求AB的长
（2）动点P以每秒2个单位长度的速度在AB上从A点向B点运动，设B[的长度为d，运动时间为t，请用含t的式子表示d；
（3）如图2，在（2）的条件的下，BD平分 交y轴于点D，点E在AB上，点G在BD上，连接 ，且 ，点E与点G的纵坐标的差为2，连接OP并还延长交过B点且与x轴垂直的直线于M，当t为何值时， ，并求 的值．
11．如图，直线PQ∥MN ， 点C是PQ、MN之间（不在直线PQ ， MN上）的一个动点．
（1）若∠1与∠2都是锐角，如图甲，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系；
（2）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图乙方式放置，点D ， E ， F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A ， 求∠BDF的度数；
（3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG ， 且有∠CEG＝∠CEM ， 求 值．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别是(-2,0),(4,0)，现同时将点A,B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A,B的对应点C,D连接AC,BD,CD.
（1）写出点C,D的坐标并求出四边形ABCD的面积.
（2）在x轴上是否存在一点E，使得 的面积是 面积的2倍？若存在，请求出E 的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）若点F是直线BD上一个动点，连接FC,FO,当点F在直线BD上运动时，请直接写出 与 的数量关系.
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一、平面图形的认识（二）压轴解答题
1． （1）解：∵CB∥OA
∴∠BOA+∠B=180°
∴∠BOA=60°
∵∠FOC=∠AOC,OE平分∠BOF
∴∠EOC=∠EOF+∠FOC
= ∠BOF+ ∠F0A
= (∠BOF+∠FOA)
= ×60°
=30°
（2）解：不变
∵CB∥OA
∴∠OCB=∠COA,∠OFB=∠FOA
∵∠FOC=∠AOC
∴∠COA= ∠FOA, 即∠OCB:∠OFB=1：2
【解析】【分析】（1）利用两直线平行，同旁内角互补，易证∠BOA+∠B=180°，即可求出∠AOB的度数；再利用角平分线的定义，可证得∠BOE=∠EOF，从而可推出∠EOC=∠AOB，代入计算求出∠EOC的度数。
（2）利用平行线的性质可证得∠OCB=∠COA，∠OFB=∠FOA，再结合已知条件可证得 ∠COA= ∠FOA，从而可推出∠OCB: ∠OFB的值。
2． （1）252°
（2）解：结论: .
理由如下:
如图1,过P作PQ∥AD.
∵AD∥BC，∴AD∥PQ ， PQ∥BC .
∵PQ∥AD，∴ .同理， .
∴
（3）解：当点P在B、O两点之间时，如图2,则有 ；
当点P在射线AM上时，如图3,则有 .
（4）
【解析】【解答】解：（1）过P作PE∥AB
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PE
∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°  
∴∠PAB+∠APE+∠PCD+∠CPE=360°即∠PAB+∠PCD+∠APC=360°
∴∠PAB+∠PCD=360°-108°=252°.
故答案为：252°.
（4）如图，过点B1作B1C∥A1H，过A2点A2D∥A1H，过点B2作B2G∥A1H,
∵A1H∥A3F
∴A1H∥A3F∥B1C∥A2D∥A1H∥B2G,
∴∠A1=∠1，∠3=∠2，∠4=∠5，∠6=∠A3 ，   
∴∠A1+∠2+∠4+∠A3=∠1+∠3+∠5+∠6
∴∠A1+∠B1A2B2+∠A3=∠A1B1A2+∠A2B2A3.
由此规律可得：
∠A1+∠A2++∠An=∠B1+∠B2++∠Bn.
【分析】（1）过P作PE∥AB，结合已知可证得AB∥CD∥PE；再利用两直线平行，同旁内角互补可得到∠PAB+∠PCD+∠APC=360°，然后将∠APC=108°代入计算可求出∠PAB+∠PCD的度数。
（2）如图1，过P作PQ∥AD，结合已知条件可证得AD∥PQ ， PQ∥BC，利用平行线的性质可证得∠α=∠1，∠β=∠2，由此可证得结论.
（3）分情况讨论： 当点P在B、O两点之间时；当点P在射线AM上时， 分别利用平行线的性质，可证得结论。
（4）如图，过点B1作B1C∥A1H，过A2点A2D∥A1H，过点B2作B2G∥A1H,，结合已知条件可证得A1H∥A3F∥B1C∥A2D∥A1H∥B2G，利用两直线平行，内错角相等，可证得∠A1=∠1，∠3=∠2，∠4=∠5，∠6=∠A3 ， 由此可推出∠A1+∠B1A2B2+∠A3=∠A1B1A2+∠A2B2A3 ， 根据此规律可推出结论。
3． （1）证明：∵AM//BN
∴∠A+∠ABN=180°
∵∠A=60°
∴∠ABN=180°−∠A=180°−60=120°
（2）解：如图，
没有变化。
∵CB平分∠ABP,  BD平分∠PBN
∴∠1= ∠ABP,   ∠2= ∠PBN
∴∠CBD=∠1 +∠2 = ∠ABP+∠PBN）
= ×1200=600
（3）解：如图，
∵AM//BN
∴∠ACB=∠CBN
∵∠ACB=∠ABD
∴∠CBN=∠ABD
∴∠CBN−∠CBD=∠ABD−∠CBD
即∠1=∠4
又∵CB平分∠ABP,  BD平分∠PBN
∴∠1=∠2   ∠3=∠4
∴∠1=∠2=∠3=∠4=120°÷4=30°
即∠ABC=30°
【解析】【分析】 (1) 根据两直线平行，同旁内角互补即可求出答案；
(2) 根据角平分线的性质以及角度相加减即可得证；
(3) 根据两直线平行，同旁内角互补以及已知条件得到 ∠CBN=∠ABD ，根据角度的相加减得到 ∠1=∠4 ，再根据角平分线的性质得到 ∠1=∠2=∠3=∠4 ，最后根据 ∠ABN=120° 即可得到答案.
4． （1）解：∠BAM=∠CDM.
理由：∵AB∥DM，
∴∠BAM=∠M， 
∵CD∥AM，
∴∠CDM=∠M
∴∠BAM=∠CDM.
（2）三个角的数量关系为：∠AEF-∠BAE+∠DFE=180°
理由：过点A作AH∥BC，
∴∠HAB=∠B，∠HAE=∠HAB+∠BAE=∠AEF，
∴∠B+∠BAE=∠AEF即∠B=∠AEF-∠BAE
∵AB∥DM，
∴∠B+∠DFE=180°，
∴∠AEF-∠BAE+∠DFE=180°.
（3）24°
【解析】【解答】（3）过点Q作QN∥AB
由（1）可知∠M=∠BAE=∠CDM，  
∵AB∥DM
∴AB∥DM∥QN
∴∠1+∠BAE=∠AQN，∠2=∠DQN
∴∠AQD=∠AQN+∠DQN=∠1+∠2=∠1+∠2+∠M=∠1+∠2+∠BAE=112°
∵∠DAQ=∠BAD，∠ADQ=∠ADC
∴∠BAD=3∠DAQ，∠ADC=3∠ADQ，
∵∠DAQ+∠ADQ=180°-112°=68°
∴3∠DAQ+3∠ADQ=3×68°=204°，即∠BAD+∠ADC=204°，
∴∠BAE+∠1+∠QAD+∠ADQ+∠2+∠CDF=204°
∴∠BAE+∠1+∠QAD+∠ADQ+∠2+∠CDF=204°
∴（∠1+∠2+∠BAE）+（∠QAD+∠ADQ）+∠BAE=204°
∴112°+68°+∠BAE=204°
解之：∠BAE=24°.