文档介绍：计算机与数学的关系
2007-11-2     作者:        编辑:静娴   点击进入论坛
关键词:数学对象  计算机
计算机科学和数学的关系有点奇怪。二三十年以前,计算机科学基本上还是数学的一个分支。而现在,计算机科学拥有广泛的研究领域和众多的研究人员,在很多方面反过来推动数学发展,从某种意义上可以说是孩子长得比妈妈还高了。
但不管怎么样,这个孩子身上始终流着母亲的血液。这血液是the mathematical underpinning puter science(计算机科学的数学基础),-- 也就是理论计算机科学。
现代计算机科学和数学的另一个交叉是计算数学/数值分析/科学计算,传统上不包含在理论计算机科学以内。所以本文对计算数学全部予以忽略。最常和理论计算机科学放在一起的一个词是什么?答:离散数学。这两者的关系是如此密切,以至于它们在不少场合下成为同义词。
传统上,数学是以分析为中心的。数学系的同学要学****三四个学期的数学分析,然后是复变,实变,泛函等等。实变和泛函被很多人认为是现代数学的入门。在物理,化学,工程上应用的,也以分析为主。
随着计算机科学的出现,一些以前不太受到重视的数学分支突然重要起来。人们发现,这些分支处理的数学对象与传统的分析有明显的区别:分析研究的对象是连续的,因而微分,积分成为基本的运算;而这些分支研究的对象是离散的,因而很少有机会进行此类的计算。人们从而称这些分支为“离散数学”。“离散数学”的名字越来越响亮,最后导致以分析为中心的传统数学分支被相对称为“连续数学”。
离散数学经过几十年发展,基本上稳定下来。一般认为,离散数学包含以下学科:
1) 集合论,数理逻辑与元数学。这是整个数学的基础,也是计算机科学的基础。
2) 图论,算法图论;组合数学,组合算法。计算机科学,尤其是理论计算机科学的核心是算法,而大量的算法建立在图和组合的基础上。
3) 抽象代数。代数是无所不在的,本来在数学中就非常重要。在计算机科学中,人们惊讶地发现代数竟然有如此之多的应用。但是,理论计算机科学仅仅就是在数学的上面加上“离散”的帽子这么简单吗?一直到大约十几年前,终于有一位大师告诉我们:不是。
(他有多伟大,我想不用我废话了)在Stanford开设了一门全新的课程Concrete Mathematics。 Concrete这个词在这里有两层含义:
第一,针对abstract而言。Knuth认为,传统数学研究的对象过于抽象,导致对具体的问题关心不够。他抱怨说,在研究中他需要的数学往往并不存在,所以他只能自己去创造一些数学。为了直接面向应用的需要,他要提倡“具体”的数学。
在这里我做一点简单的解释。例如在集合论中,数学家关心的都是最根本的问题--公理系统的各种性质之类。而一些具体集合的性质,各种常见集合,关系,映射都是什么样的,数学家觉得并不重要。然而,在计算机科学中应用的,恰恰就是这些具体的东西。Knuth能够首先看到这一点,不愧为当世计算机第一人。
第二,Concrete是Continuous(连续)加上discrete(离散)。不管连续数学还是离散数学,都是有用的数学!