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2017年北京市高考数学试卷（理科）
一、选择题.（每小题5分）
1．（5分）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，则A∩B=（ ）
A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}
2．（5分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞）
3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．2 B． C． D．
4．（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
5．（5分）已知函数f（x）=3x﹣（）x，则f（x）（ ）
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
6．（5分）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是•＜0”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）
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A．3 B．2 C．2 D．2
8．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（ ）
（参考数据：lg3≈）
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
二、填空题（每小题5分）
9．（5分）若双曲线x2﹣=1的离心率为，则实数m= ．
10．（5分）若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，则= ．
11．（5分）在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为 ．
12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则cos（α﹣β）= ．
13．（5分）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为 ．
14．（5分）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3．
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（1）记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是 ．
（2）记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是 ．
三、解答题
15．（13分）在△ABC中，∠A=60°，c=a．
（1）求sinC的值；
（2）若a=7，求△ABC的面积．
16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．
（1）求证：M为PB的中点；
（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；
（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
17．（13分）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．
（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
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（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；
（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）
18．（14分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）求证：A为线段BM的中点．
19．（13分）已知函数f（x）=excosx﹣x．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．
20．（13分）设{an}和{bn}是两个等差数列，记cn=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，bn﹣ann}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，xs}表示x1，x2，…，xs这s个数中最大的数．
（1）若an=n，bn=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{cn}是等差数列；
（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得cm，cm+1，cm+2，…是等差数列．
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2017年北京市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题.（每小题5分）
1．（5分）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，则A∩B=（ ）
A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}
【分析】根据已知中集合A和B，结合集合交集的定义，可得答案．
【解答】解：∵集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，
∴A∩B={x|﹣2＜x＜﹣1}
故选：A
【点评】本题考查的知识点集合的交集运算，难度不大，属于基础题．
2．（5分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞）
【分析】复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，可得，解得a范围．
【解答】解：复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，
∴，解得a＜﹣1．
则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5分）（2015春•西城区期末）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
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A．2 B． C． D．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2，
当k=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S=，
当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S=，
当k=3时，不满足进行循环的条件，
故输出结果为：，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
4．（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可．
【解答】解：x，y满足的可行域如图：
由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由，可得A（3，3），
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目标函数的最大值为：3+2×3=9．
故选：D．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．
5．（5分）已知函数f（x）=3x﹣（）x，则f（x）（ ）
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
【分析】由已知得f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，由函数y=3x为增函数，y=（）x为减函数，结合“增”﹣“减”=“增”可得答案．
【解答】解：f（x）=3x﹣（）x=3x﹣3﹣x，
∴f（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣f（x），
即函数f（x）为奇函数，
又由函数y=3x为增函数，y=（）x为减函数，
故函数f（x）=3x﹣（）x为增函数，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．
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6．（5分）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是•＜0”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立．即可判断出结论．
【解答】解：，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．
反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立．
∴，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是•＜0”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）
A．3 B．2 C．2 D．2
【分析】根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得最长的棱为PA，根据勾股定理求出即可．
【解答】解：由三视图可得直观图，
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再四棱锥P﹣ABCD中，
最长的棱为PA，
即PA==
=2，
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的问题，关键画出物体的直观图，属于基础题．
8．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（ ）
（参考数据：lg3≈）
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
【分析】根据对数的性质：T=，可得：3=10lg3≈，代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果．
【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，
根据对数性质有：3=10lg3≈，
∴M≈3361≈（）361≈10173，
∴≈=1093，
故本题选：D．
【点评】本题解题关键是将一个给定正数T写成指数形式：T=，考查指数形式与对数形式的互化，属于简单题．
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二、填空题（每小题5分）
9．（5分）若双曲线x2﹣=1的离心率为，则实数m= 2 ．
【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可．
【解答】解：双曲线x2﹣=1（m＞0）的离心率为，
可得：，
解得m=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力．
10．（5分）若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，则= 1 ．
【分析】利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得到结果．
【解答】解：等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，
设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．
可得：8=﹣1+3d，d=3，a2=2；
8=﹣q3，解得q=﹣2，∴b2=2．
可得=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力．
11．（5分）在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为 1 ．
【分析】先将圆的极坐标方程化为标准方程，再运用数形结合的方法求出圆上的点到点P的距离的最小值．
【解答】解：设圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0为圆C，将圆C的极坐标方程化为：x