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简介
在现代数学中，核空间是一个令人感兴趣的对象。在这个领域，一个重要的问题是：什么样的核空间是实解析的？这个问题是非常复杂的，并且其解决需要运用广泛的数学知识。
本论文将着重探讨再生核希尔伯特空间的实解析性。我们将介绍什么是再生核希尔伯特空间，并且给出其实解析性的概念和证明。在此过程中，我们将讨论相关的基本概念和定理，包括核定理、Onsager对称和Lax-Milgram引理等。
再生核希尔伯特空间
再生核希尔伯特空间，也称为RKHS，是一种带有再生性质的希尔伯特空间。一个RKHS是一个带有一个称为核函数的对称函数的希尔伯特空间，核函数可以认为是模拟内积的一种方法。
令X是一个非空集合，K是一个从X到X的实值函数。如果对于所有x∈X，k(•,x)∈H，其中H是一种希尔伯特空间，那么H是一个RKHS，其中对于所有f∈H和x∈X，k(x,•)是函数f的在x点的线性函数。
再生点是指对于所有f∈H，再生点定义为f(x)=<f,k(•,x)>(<,>在这里表示内积)，即一个函数在某一个点x的值是该函数在该点上的核函数和该函数本身的内积，也就是说，再生点是函数的值和它的内积产生的点。
实解析性
所谓的实解析空间是指一个函数空间，其中每一个函数都可以表示为一个幂级数，而该级数在其中被定义的域上收敛。实解析空间应该是有限维的，但是它们也可以是无限维的。表示为级数的函数不一定是整个空间中的每一个函数，但它可以成为空间的一组基。
对于RKHS，如果它的核函数是实解析的，则该RKHS是实解析的。具体而言，RKHS H的核函数k(x,y)是实解析的，如果对于任意x和y，k(x,y)可以在一个邻域内被实解析函数逐项展开。
证明
下面我们将简要介绍RKHS的实解析性证明。首先，我们需要知道核定理，它表明任何有界对称线性算子都存在特定的对称行列式内积，称为其核。
考虑下列自伴算子T：对于所有f∈H，T(f)(x)=∫K(x,y)f(y)dy，其中K是核函数。根据核定理，这个自伴算子T存在一个核函数k(x,y)，使得对于任意f∈H，T(f)(x)=<f,k(•,x)>。
我们现在需要证明k(x,y)是实解析的。考虑与k相关的积分方程，即φ(x) be a test function：
∫K(x,y)φ(y)dy=f(x)
然后使用Fourier变换，得到：
∫∞−∞∫∞−∞ˆK(u,v)e−ixue−iyv du dv=ˆf(x)
其中ˆf是f的Fourier变换，ˆK是K的Fourier变换。
使用Onsager对称，可以将ˆK表述为f1f2的积分，其中f1和f2是有限连续的，从而使得f1可以对变量v逐项展开，f2可以对变量u逐项展开。
在给定的收敛条件下，可以交换积分和求和，从而得到：
∑i,jcij(xi)yj=c0(x)
其中cij是实系数。因此，我们得到一个关于y的幂级数展开式，这个级数在一定域上收敛。
实上，我们可以证明，如果K(x,y)在x和y上是实解析的，则K(x,y)在x和y上的同时实解析。这个结论可以使用Lax-Milgram引理来证明，它表明对于所有ε，存在一个有限集合Iε，使得对于所有f∈H，其展开级数的前n项小于ε，其中n∈Iε。因此，在一定范围内，f也可以表示为幂级数，证明RKHS H是实解析的。
结论
实解析性是一个基本的数学概念，对于RKHS的实解析性也是一个相关而舒展的问题。在本文中，我们介绍了RKHS和实解析性的基本概念，并且在此基础上给出了实解析性的证明过程。这个结果为研究RKHS的性质提供了基础，并且还开辟了广泛的研究空间和未来的研究方向。