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文档介绍：保分大题规范专练(六)
(x)=sin 2x-2sin2x+2.
(1)当x∈时,求f(x)的取值范围;
(2)已知锐角三角形ABC满足f(A)=,且sin B=,b=2,求△ABC的面积.
解:(1)∵f(x)=sin 2x+2cos2x
=sin 2x+(cos 2x+1)
=2sin+,
又∵x∈,∴2x+∈,
∴f(x)∈[0,2+ ].
(2)在锐角三角形ABC中,∵f(A)=,
∴2sin+=,
∴sin=0,
∵A∈,∴2A+∈,
∴2A+=π,∴A=,
又∵sin B=,B∈,
∴cos B=,
∴sin C=sin=×+×=,
∴c=·sin C=,
∴S△ABC=bcsin A=×2××=2+.
,PABD和QBCD为两个全等的正棱锥,且A,B,C,D四点共面,其中AB=1,∠APB=90°.
(1)求证:BD⊥平面APQ;
(2)求直线PB与平面PDQ所成角的正弦值.
解:由已知得PABD和QBCD是顶角处三条棱两两垂直,底面是正三角形的正棱锥,其中侧棱长为.
(1)证明:易知底面ABCD是菱形,连接AC(图略),则AC⊥BD.
易证PQ∥AC,所以PQ⊥BD.
由已知得PABD和QBCD是顶角处三条棱两两垂直,
所以AP⊥平面PBD,
所以BD⊥AP,因为AP∩PQ=P,
所以BD⊥平面APQ.
(2)法一:由(1)知PQ⊥BD,
取PQ中点M,连接DM,BM,分别过点P,Q做AC的垂线,垂足分别为H,N.
由正棱锥的性质可知H,N分别为△ABD,△BCD的重心,可知四边形PQNH为矩形.
其中PQ=AC=,PH=.
DM==,
S△BDM=BD·PH=×1×=,
S△PQD=PQ·DM=××=.
令B到平面PQD的距离为h,
则V三棱锥PBDM=V三棱锥BPQD,
即××=××·h,解得h=.
设BP与平面PQD所成角为θ,
则sin θ===.
法二:设AC与BD交于点O,取PQ的中点M,连接OM,易知OM,OB,OC两两垂直,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示,
则O(0,0,0),B,D,P,Q,
所以=,=,
=,
令m=(a,b,c)为平面PQD的法向量,
则即
令a=2,则m=(2,0,-).
设直线PB与平面PDQ成角为θ,
所以sin θ=|cos〈m,〉|=
==.
(x)=aex+x2,g(x)=sin +bx,直线l与曲线y=f(x)切于点(0,f(0)),且与曲线y=g(x)切于点(1,g(1)).
(1)求实数a,b的值和直线l的方程;
(2)证明:f(x)>g(x).
解:(1)f′(x)=aex+2x,g′(x)=cos +b,
则f′(0)=a,g′(1)=b,
又f(0)=a,g(1)=1+b,
则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=ax+a;
曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=b(x-1)+1+b,即y=bx+1,
则a=b=1,直线l的方程为y=x+1.
(2)证明:由(1)知f(x)=ex+x2,g(x)=sin +x,
只需证f(x)=ex+x2≥x+1≥sin +x=g(x).
设F(x)=f(x)-(x+1)=ex+x2-x-1,
则F′(x)=ex+2x-1,
由F′(x)=0,可得x=0,当x<0时,F′(x)<0;
当x>0时,F′(x)>0,
故F(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以F(x)min=F(0)=0.
再设G(x)=x+1-g(x)=1-sin ,
则G(x)≥0,当且仅当=+2kπ(k∈Z),
即x=4k+1(k∈Z)时等号成立.
由上可知,f(x)≥x+1≥g(x),且两个等号不同时成立,
故f(x)>g(x).