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第三章 多元线性回归
多元线性回归模型
回归参数的估计
参数估计量的性质
回归方程的显著性检验
中心化和标准化
相关阵与偏相关系数
本章小结与评注
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第三章多元线性回归模型
例子: ①工资收入y ,教育x1 、工资经验x2 ; ②产品的销售量y,自身的价格x1、替代品的价格x2、互补品的价格x3; ③某品牌手机的销售额y,广告费x1、价格x2、可支配的收入x3、研发的投入x4; ④汽车的速度y,动力x1、重量x2; ⑤血糖y,胰岛素x1、生长素x2。……
以上例子的特点:被解释变量只有一个,解释变量有2个或2个以上,这样的模型称为多元线性回归模型。
本章的主要内容:多元线性回归模型、基本假设、未知参数的估计及性质、回归方程的系数和回归方程的检验、预测等。
本章特点:利用矩阵进行计算。
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多元线性回归模型的一般形式:
y=0+1 x1+2 x2+……p x p +ε
y为被解释变量,是随机变量;
x1, x2 , ……,x p 为解释变量,确定性变量,可以控制和测量;
0 ,1 , … , p 是(p+1)个未知参数;
0回归常数, 1 , … , p 回归系数。
n组样本观测值(xi 1 , xi 2 , xi 3 , …, x i p ; y i)i=1,2,…,n. (每一组样本观测值为一个向量,前面一个下标 i 表示第 i 组样本观测值,后面一个下标表示解释变量)
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多元线性回归模型的矩阵形式
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STEP 01
STEP 02
矩阵形式
其中Y,ε均为n维列向量;X为n*(p+1)的矩阵;β为p维列向量
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x1 , x2 , …, xp是确定性变量.
xi (i=1 ,2 ,…, p.)之间无线性关系(即无共线性).
高斯-马尔科夫条件:E(εi)=0, i=1, 2, …n. ; Cov (εi , εj)=0 , i≠j; Cov (εi , εj)=σ2, i=j .
εi的正态性假设: εi ~N(0, σ2 )。
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三、回归系数的解释 例题
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E(y)=β0+β1x1+β2x2
y=β0+β1x1+β2x2+ε
02
单击此处添加正文,文字是您思想的提炼,请尽量言简意赅地阐述观点。
y表示空调机的销售量,
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单击此处添加正文,文字是您思想的提炼,请尽量言简意赅地阐述观点。
x1表示空调机的价格,
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多元线性回归方程的解释
x2表示消费者可用于支配的收入。
在x2保持不变时,有
在x1保持不变时,有
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三、多元线性回归方程的系数解释
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例子
假设我们想估计竞选支出对竞选结果的影响.
A为侯选人A的得票率, expend A为侯选人A的竞选支出; expend B为侯选人B的竞选支出; tot ,考虑如下模型:
vote A=0+1 expend A +2 expend B+3 totexpend+ε
由于expend A +expend B=tot expend, 1 的意义就会揭示出问题. 参数1 被认为是在保持侯选人B的竞选支出和竞选总支出不变的情况下, B和tot expend都保持不变,我们就不可能增加expend A ,所以这就毫无意义.
解决完全共性方法:将3个自变量中去掉1个.
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利用矩阵形式求回归参数的估计