矢量分析与场论讲义PPT.ppt

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若场中物理量在各点处的对应值不随时间变化，
场都是矢量场。
某一区域 V 中每一点 M, 都有一 个数量 (或矢量) 与
就称为稳定场，否则，称为不稳定场。
例如: 温度场和密度场都是数量场, 重力场和速度
场是用空间位置函数来表征的。若对全空间或其中
之对应, 则称在 V 上确定了一个 数量场 (或矢量场).
一、场的概念
注
引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来
进行计算和研究它的性质.
, 和坐标系的引进无关.
场的特点：①分布于整个空间，看不见，摸不着，只能借助仪器
进行观察测量，靠人脑去想像其分布情况；
②具有客观物质的一切特征，有质量、动量和能量。
3、描述方法
①函数表示法：借助一定坐标系下的函数来表示场的分布。对矢量场，用 ；数量场常用 表述。
②几何表示法，也叫图示法：用能反映场性质和分布的一族曲线或曲面表示场的分布特征，分别称为矢量线（像电力线、磁力线）；等值面（像等温面，等位面）。
二、数量场、矢量场的描述方法
以下讨论中总是设它对每个变量都有一阶连续偏导数。
因此给定了某个数量场就等于给定了一个数性函数
在引进了直角坐标系后, 点 M 的位置可由坐标确定。
同理,每个矢量场都与某个矢性函数
并假定它们有一阶连续偏导数。
相对应.
这里 为所定义区域上的数性函数,
数量场的等值面（线）：
是由场中使u取相同数值的点所组成的曲面。
（c值不同对应不同等值面）
等值面
其方程为
等值线
在某一高度上沿什么方向高度变化最快？
直观表示数量u在场中的分布。
热源
01
以温度场为例：
可以看出：数量场的函数是单值函数，各等值面是互不相交的。
03
等温面
02
等值面举例
矢量场的矢量线：
矢量线上每一点处曲线与对应于该点的矢量相切。
直观描述矢量在场中的分布情况。
2. 矢量线连续分布，一般互不相交。
图2 矢量线
A
r
M
x
y
z
o
l
观察：
， 场的矢量都位于该点处的切线上（如图所示），称其为矢量线。例：静电场电力线、磁场的磁力线、流速场中的流线等。
M
d
r
r
O
A
矢量线的微分方程：
M点位置
(
矢量线l 微分
r
l
)
场矢量
01
02
03
04
矢量线在这点的切线的方向余弦和矢量线上的
成比例，从而得到矢量线应满足的微分方程
在场矢量 不为零的条件下，由线性微分方程组的理论可知所考虑的整个场被矢量线所填满，而通过场中每一点有一条且只有一条这样的曲线，且过不同的点的两条矢量线没有公共点。
例2 求矢量场
的矢量线方程。