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非线性微分方程及稳定性.pptx

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设给定方程组()的初始条件为
考虑包含点
()
的某区域
所谓
在域
上关于
局部满足利普希茨条件是指对于
内任意点
存在闭邻域
满足利普希茨条件,即存在常数

使得不等式:
关于

写成向量形式:
对所有
如果向量函数
在域
满足利普希茨条件,则方程组()存在唯一解
存在唯一性定理
成立。
上连续且关于
如果向量函数
解的延拓与连续性定理
续,且关于
它在区间
这里
内连
在某域
条件
的解
满足局部里普希茨条件,则方程组()的满足初始

或者使点
可以延拓,或者延拓
任意接近区域
的边界。
上连续,而且
可微性定理
在域

如果向量函数
确定
把方程()化为:
作为
内连续,那么方程组()由初始条件
的函数,在存在范围内是连续可微。
的解
()
邻近的解的性态,通常先利用
变换:
()
为研究()的特解
其中
此时显然有:
()
稳定性的基本概念

是系统()适合初值条件
的解
(1) 若
使得只要
对一切
恒有
则称系统()的零解
是稳定的。
(2) 若 1)
是稳定的;
2)
使得只要
就有
则称系统()的零解
是渐近稳定的; 区域
称为
吸引域;如果吸引域是全空间,则称
稳定的.
是全局渐近
(3) 若
是不稳定的。


则称

使
相平面
现在讨论二阶微分方程组
()
它的解
如果把时间t当做参数,仅考虑x,y为坐标的(欧氏)空间,此空间成为方程组()的相平面(若方程组是高阶的,则称为相空间)。在相平面(相空间)中方程组的曲线称为轨线。对一般的方程组()在相平面上一个点可能有不止一条轨线经过。但如果方程组()是驻定方程组,即其右端函数不显含时间t的情形,此时()式变成:
()
()
附注:在相平面,驻定方程组()的轨线不相交。
同时满足
()的奇点,显然
称为驻定方程组
是方程组的解。
的点
()
方程()的另一形式:
()
其中,
根据线性代数理论可以通过非奇异的实线性变换
特征方程
把线性方程组()化成标准形式,其系数为下列四种形式:
()
为实数。这些标准形式是根据方程组()的
则此奇点还是唯一的。
显然,坐标原点
是奇点。如果方程组的系数满足条