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对坐标的曲面积分
有向曲面及曲面元素的投影
对坐标的曲面积分的概念与性质
两类曲面积分的联系
对坐标的曲面积分的计算法
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一、有向曲面及曲面元素的投影
• 曲面分类
双侧曲面
莫比乌斯带
曲面分上侧和下侧
单侧曲面
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5
曲面分内侧和外侧
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其方向用法向量指向
方向余弦
> 0 为前侧
< 0 为后侧
> 0 为右侧
< 0 为左侧
> 0 为上侧
< 0 为下侧
封闭曲面
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4
5
外侧
内侧
6
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二、对坐标的曲面积分的概念与性质
引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为
求单位时间流过有向曲面 的流量 .
则流量
法向量:
分析: 若 是面积为S 的平面,
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流速为常向量:
6
对稳定流动的不可压缩流体的
速度场
进行分析可得
, 则
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用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
对一般的有向曲面 ,
绪论
研究
方法
1
2
2. 定义.
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设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个
意分割和在局部面元上任意取点,
分,
记作
P, Q, R 叫做被积函数;
叫做积分曲面.
或第二类曲面积分.
下列极限都存在
向量场
若对 的任
则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积
01
引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为
02
称为Q 在有向曲面上对 z, x 的曲面积分;
03
称为R 在有向曲面上对 x, y 的曲面积分.
04
称为P 在有向曲面上对 y, z 的曲面积分;
05
若记 正侧的单位法向量为
06
令
07
则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式
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若
之间无公共内点, 则
用ˉ 表示 的反向曲面, 则
三、对坐标的曲面积分的计算法
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定理: 设光滑曲面
取上侧,
是 上的连续函数, 则
证:
∵ 取上侧,
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说明:
• 若
则有
则有
(前正后负)
• 若
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(右正左负)
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