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第 02 讲 立方根
【题型 1 立方根的概念】
【题型 2 立方根的性质】
【题型 3 立方根的实际应用】
【题型 4 算术平方根和立方根的综合应用】
【题型 5 立方根的小数点移动的规律】
知识点 1：立方根的定义
1．定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，
如果x a3 = ，那么x 叫做a的立方根．求一个数的立方根的运算，叫做开立方．
注意：一个数a的立方根，用3 a 表示，其中a是被开方数，3 是根指数． 开立方和立方互
为逆运算．
2．立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0．
注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符
号相同． 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数．
【题型 1 立方根的概念】
【典例 1】
1．已知 3 1 2-=-a ，则a 的值是（ ）
A．±2 B．2 C．±3 D．3
【变式 1】
2．计算 -+-3 83 的结果是（）
A．1 B． -1 C．5 D． -5
试卷第 1 6页，共页 : .
【变式 2】
8
3．- 的立方根是（ ）
27
2 2 3 3
A．- B． C．- D．
3 3 2 2
【变式3】
4．下列说法中正确的是（ ）
27 3
A．27 的立方根是±3 B． 的立方根是
64 8
C．-2是-8的立方根D．-8的立方根是2
【题型 2 立方根的性质】
【典例2】
5．一个正方体的棱长为a，体积为b ，则下列说法正确的是（ ）
A．b 的立方根是±a B．a是b 的立方根C．a b= D．b a=
【变式1】
6．若一个数的立方根是 4，那么这个数的平方根是（ ）
A．4 B．±4 C．8 D．±8
【变式2】
a c 2 3 3
7．实数 ，b ，在数轴上的位置如图所示，代数式a a b c a--+- 可以化简为
（ ）
A．-++3a b c B．--+a b c C．-+-a b c D．a b c+-
【变式3】
8．下列各组数中互为相反数的是（ ）
A． -3 与3 B．-3与3 -27
1
C．-3与- D．-- 3 与9
3
【题型 3 立方根的实际应用】
【典例3】
9．已知甲正方体纸盒的底面积为25cm2，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大
试卷第 2 6页，共页 : .
3 1
387cm ，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的 ．
8
(1)求乙正方体纸盒的体积．
(2)求丙正方体纸盒的棱长．
【变式 1】
10．2024 年的母亲节来临之际，小美和小嘉分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备
用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小美制作的正方体礼盒的表面积为150cm2，而小嘉制作的
正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积小98cm3 ，则小嘉制作的正方体礼盒的表
面积为（ ）
A．36cm2 B．54cm2 C．96cm2 D．144cm2
【变式2】
4 3 32p 3
11．我们知道，球的体积公式是V R= p ，如图所示的乒乓球的体积为cm ，则这个
3 3
乒乓球的半径为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【变式3】
12．如图，二阶魔方为2 2 2´´ 的正方体结构，本身只有8 个方块，没有其他结构的方块，
已知二阶魔方的体积约为64cm3（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的棱长为
cm．
【题型 4 算术平方根和立方根的综合应用】
试卷第 3 6页，共页 : .
【典例 4】
13．已知2 1x + 是49 的算术平方根， x y+-4 10的立方根是-3．
(1)求 x y, 的值；
(2)求2x y- 的立方根．
【变式1】
14．已知2 1a- 的算术平方根是3，3 1a b+- 的立方根是4，求：
(1)a 、b 的值；
(2)a b+- 6的平方根．
【变式 2】
15．已知3a+2的立方根是-1，2 1a b+- 的算术平方根是3．
(1)求a，b 的值；
(2)求 b a-4 的平方根．
【变式3】
16．已知2 1a- 的算术平方根是3，3 1a b+- 的平方根是±4，c是15 的整数部分，求：
(1)a、b 、c的值；
(2)a b c+-3 的立方根．
【题型 5 立方根的小数点移动的规律】
【典例5】
17．若 3 » ，3 » ，则3 3750 »（ ）
A． B． C． D．
【变式1】
18．已知 3 » ，3 » ，3 » ，则3 2370 » ．
【变式 2】
19．观察： » ，3 » ，若3 x » ，则x » ．
【变式 3】
20．已知 3 = ，3 = ，3 = ，则3 -=1510 ．
试卷第 4 6页，共页 : .
（24-25 八年级上·北京通州·期末）
21．8 的立方根是（ ）
A．2 B．-2 C．±2 D．±4
（24-25 八年级上·河南郑州·期中）
22． 3 -27 的相反数是（ ）
A．-3 3 B．-3 C．3 3 D．3
（24-25 八年级上·广东佛山·阶段练习）
23．下列说法正确的是（ ）
2
A．-3 的平方根是±3 B． 16 的平方根是±4
C．-4的平方根是2 D．9 的立方根是 3
（24-25 八年级上·山西晋中·期中）
24．小华制作了一个棱长为a的正方体，小夏也准备制作一个正方体，其体积是小华制作的
正方体体积的8 倍，则小夏制作的正方体的棱长为（ ）
A．8a B．4a C．2a D． 2a
（24-25 七年级上·浙江绍兴·期中）
25．已知 x = 2，y3 = 27 ，且xy > 0，则x y+ 的值等于（）
A．5 B．1 C．-5 D．-1
（24-25 七年级上·浙江杭州·期中）
26．一次数学游戏活动时，有6 个同学藏在大木牌后面，女同学的木牌前写的是正数，男同
学的木牌前写的是负数，6 个木牌如下所示，则男生有（ ）
A．3人B．4人C．5人D．6 人
（24-25 九年级上·吉林长春·期末）
27．小裴同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律；
m 4096 4096000 4096000000
3 m 16 160 1600
试卷第 5 6页，共页 : .
运用你发现的规律，探究下列问题：已知 3 13 » ，则3 » （ ）
A． B． C． D．
（24-25 七年级上·浙江杭州·期中）
28．如图，二阶魔方为2 2 2´´ 的正方体结构，本身只有8 个方块，没有其他结构的方块，
已知二阶魔方的体积约为1000cm3（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为
cm ．
（23-24 八年级上·山东青岛·期中）
29．已知2 1a+ 的平方根是±5，1-b的立方根为-1．
(1)求 a 与 b 的值；
(2)求a b+2 的算术平方根．
（24-25 八年级上·全国·期中）
d3
30．某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间t（h）可以用公式：t2 = 来估计，其中d
900
（km）是雷雨区域的直径．（参考数据： 6 » ，3 9 » ，3 » ，
3 90 » ）
(1)如果雷雨区域的直径为6km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（）
(2)如果一场雷雨持续了1h ，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（）
试卷第 6 6页，共页 : .
1．D
【分析】先根据立方根的定义求出a的值，再根据算术平方根的定义计算求解即可．
【详解】解：Q 3 1 2-=-a ，
\-=-1 8a ，
解得a = 9，
∴ a == 9 3，
故选：D．
【点睛】本题考查了立方根与算术平方根、一元一次方程的应用，熟练掌握立方根与算术平
方根的定义是解题的关键．
2．A
【分析】此题主要考查了求一个数的立方根．根据绝对值，立方根的定义进行计算可得答案．
【详解】解： -+-=-=3 8 3 2 13 ，
故选：A．
3．A
【分析】此题考查了立方根的求解能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地求
解．运用立方根的定义进行求解．
2 83
Qæö-=-
【详解】解： ç÷ ，
èø 3 27
8 2
\ - 的立方根是- ，
27 3
故选：A
4．C
【分析】此题考查了立方根，解题的关键是正确理解：一般地，如果一个数 x 的立方等于
a，那么这个数 x 叫做 a 的立方根．根据立方根的定义及性质逐项进行判断即可．
【详解】解：A、27 的立方根是 3，此选项错误，不符合题意；
27 3
B、 的立方根是，此选项错误，不符合题意；
64 4
C、-2是-8的立方根，此选项正确，符合题意；
D、-8的立方根是-2，此选项错误，不符合题意；
故选：C．
5．B
答案第 1 11页，共页Evaluation