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2025 届 3 月第一次模拟考试
数学试卷
一、选择题
1．已知集合M x y x==-{ | ln 1 2 } ，N x x=<<{ | 0 1}，则M NI = （ ）
æö 1 æö 1 æö1
A．ç÷0, B．ç÷-¥, C．ç÷ ,+¥ D．Æ
èø 2 èø 2 èø2
sin cosaa+
2．已知角a 的始边为x 轴非负半轴，终边经过点2, 1- ，则=（ ）
sin cosaa-
1 1
A．3 B． C．- D．-3
3 3
r r r r r r r r
3．已知向量a b, 满足a b== 1，且a b-=2 3，则a 与b 的夹角为（ ）
π π π π
A． B． C． D．
6 4 3 2
4 a a = 2 a a n n n=+³Î 2, N* a =
．已知数列 n 满足：1 ，n n-1 ，则4 （ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
r
5．在正三棱锥 A BCD- 中，O 为△BCD外接圆圆心，则AO =（ ）
rrr 2 2 2rrr
A． AB AC AD++ B． AB AC AD++
3 3 3
1 1 1rrr 1 1 1rrr
C． AB AC AD++ D． AB AC AD++
2 2 2 3 3 3
6．抛物线 y x+=3 02 的焦点坐标为( )
æö 3 æö 3 æö 1 æö 1
A．ç÷0,- B．ç÷0, C．ç÷0,- D．ç÷0,
èø 4 èø 4 èø 12 èø 12
æö-pp, ¢ ¢
7．已知函数f x 的定义域为ç÷ ，其导函数是f x( ).有 f x x f x x( )cos ( )sin 0+< ，则关
èø 2 2
æöp
于x 的不等式 3 ( ) 2 cosf x f x< ç÷ 的解集为（ ）
èø6
试卷第 1 4页，共页 : .
æöpp æöpp æö pp æö pp
A．ç÷ , B．ç÷ , C．ç÷-- , D．ç÷-- ,
èø3 2 èø6 2 èø 6 3 èø 2 6
1
8．已知函数 f x x x => x 0，则下列说法中正确的是（ ）
* n+1 n
A．对任意的nÎN ，都有n n>+ 1
1
B．当 e 时，f x m -= 0有两个实根
0 e<<m
x a x a ax a=>¹ 0 1且 0,+¥ a 0,1
C．若关于 的方程在上只有一个解，则的取值范围为
f x m-= 0 f x m x cx d --+£ 2 0
D．若方程 有两个不同的根，且 恒成立，则
2 1
<<lnm
c d
二、多项选择题
9．过抛物线C y px p: 2 ( 0)2 => 的焦点F 的直线与C 相交于P x y( , )，Q x y( , )两点，直线
1 1 2 2
PQ 的倾斜角为q ，若| |PQ 的最小值为4，则（ ）
π
A．F 的坐标为(1,0) B．若| | 8PQ = ，则q =
4
C．若 A(2,1)，则| | | |PA PF+ 的最小值为3 D．△OPQ面积的最小值为2
a b
æöæö1 1
10．已知实数 a，b 满足等式ç÷ç÷ = ，则下列可能成立的关系式为（ ）
èøèø2 4
A．0 <<a b B．0 <<b a C．a b<< 0 D．a b=
11．泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下
面给出两个泰勒展开式
x x x x2 3 4n
e 1x =+++++++x LL
2! 3! 4! !n
x3 x5 x7 n+1 x2n-1
sin x = x- + - +L+-1 +L
3! 5! 7! 2n-1!
由此可以判断下列各式正确的是（ ）．
A．e cos isinix =+ x x（i 是虚数单位） B．eix =- i （i 是虚数单位）
2 2 4
x xln2 x x
C．2 ³1+ xln2+ x ³ 0 D．cosx £1- + xÎ0,1
2 2 24
三、填空题
rr
12．已知三棱锥P ABC- 的棱长均为2，且D是BC 的中点，则 AC PD×= .
试卷第 2 4页，共页 : .
r r r
13．已知在正四棱台 ABCD A B C D- 1 1 1 1中，AB = 0,4,0，CB1 =-3, 1,1，A D1 1=- 2,0,0，
则异面直线DB1与A D1 1所成角的余弦值为 .
x y2 2
14．已知双曲线C a b: 1( 0, 0)2 2-=>> 与平行于x 轴的动直线交于A B, 两点，点A 在点B
a b
左侧，双曲线C 的左焦点为F ，且当AF AB^ 时，AF AB= .则双曲线的离心率是 ；
FQ
当直线运动时，延长BF 至点P 使AF FP= ，连接AP 交x 轴于点Q，则的值是 .
FP
四、解答题
f x m m x m =+-×Î2 5 m R
15．已知幂函数 是定义在R 上的偶函数．
(1)求函数 f x 的解析式；
éù1
(2)当 xÎêú ,81 时，求函数g x f x f x =-+log 2log 23 3 éùëûéùëû 的最大值，并求对应的自变量
ëû3
x 的值．
16．已知VABC 中，内角A B C, , 所对的边分别为a b c, , ，且满足a b c: : 7 : 2 :1= ．
(1)求角A 的值；
(2)若点D为BC 的中点，求AD BC: 的值．
17．如图，在三棱台 ABC A B C- 1 1 1中，平面AAC C1 1 ^ 平面ABC ，AA AC C C1 1 1 1=== 2，
AC = 4，BA BC= .
(1)证明： A B AC1 1^ ；
(2)当直线BB1与平面BAC1 1所成的角最大时，求三棱台ABC A B C- 1 1 1的体积.
18．已知圆C x y: 32 2+= ，直线l过点A-2,0.
(1)当直线l与圆C 相切时，求直线l的斜率；
试卷第 3 4页，共页 : .
(2)线段 AB 的端点B 在圆C 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
19．若圆C1与圆C2 相交于P，Q 两点， PQ m m=> ( 0)，且C2 为线段PQ 的中点，则称C2 是
C1的m A(3,5)，B(6,4)均在圆C1上，圆心C1在直线x y--=4 3 0上.
(1)求圆C1的标准方程.
(2)若圆C2 是圆C1的8 等距共轭圆，设圆心C2 的轨迹为W.
（i）求W的方程.
（ii）已知点H(3,3) ，直线l 与曲线W交于异于点H 的 E，F 两点，若直线 HE 与 HF 的斜
率之积为 3，试问直线 l 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理
由.
试卷第 4 4页，共页 : .
1．A
【分析】根据对数函数定义域化简集合 M，然后求解M NÇ .
1 ìü 1
【详解】由1 2 0->x ，解得x < ，所以M x x=<íý | ，
2 îþ 2
æö 1
又因为 N x x=<<{ | 0 1}，所以M NÇ= ç÷0, .
èø 2
故选：A.
2．C
【分析】根据三角函数的定义，求得 tana 的值，再利用同角三角函数的基本关系化弦为切，
代入即可求解.
1
【详解】由三角函数的定义可得tana =- ，