文档介绍：该【高数下讲义 】是由【和合】上传分享，文档一共【98】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【高数下讲义 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。 : .
高等数学（下册）基础精讲课 讲义
第 1 讲 向量代数与空间几何（仅数学一） ........................................................................ 1
向量的数量积和向量积..................................................................................................................... 1
空间平面与直线................................................................................................................................. 5
空间曲面与曲线............................................................................................................................... 13
第 2 讲 多元函数微分学 ....................................................................................................... 20
多元函数基本概念........................................................................................................................... 20
多元函数的极限............................................................................................................................... 22
偏导数、全微分、方向导数、梯度............................................................................................... 25
多元复合函数求导........................................................................................................................... 35
多元函数极值问题........................................................................................................................... 39
隐函数定理....................................................................................................................................... 42
几何应用........................................................................................................................................... 44
第 3 讲 重积分 ....................................................................................................................... 45
二重积分概念与基本运算............................................................................................................... 46
极坐标运算....................................................................................................................................... 51
换元法与雅可比行列式................................................................................................................... 53
对称性的应用................................................................................................................................... 54
三重积分概念及基本运算（仅数学一）....................................................................................... 57
三重积分的特殊运算....................................................................................................................... 60
重积分应用....................................................................................................................................... 61
第 4 讲 曲线积分与曲面积分（仅数学一） ...................................................................... 65
曲线积分基本概念与计算............................................................................................................... 65
格林公式........................................................................................................................................... 69
曲面积分基本概念与计算............................................................................................................... 74
高斯公式........................................................................................................................................... 78
斯托克斯公式................................................................................................................................... 79
第 5 讲 无穷级数（仅数学一、数学三）........................................................................... 80
常数项级数....................................................................................................................................... 80
幂级数收敛域................................................................................................................................... 85
泰勒级数、幂级数求和................................................................................................................... 87
傅里叶级数（仅数学一）............................................................................................................... 92
: .
高等数学（part 2） 基础精学讲义 （编写：李天意）
第1讲 向量代数与空间几何（仅数学一）
向量的数量积和向量积
三维空间坐标系：
在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？
𝐴(1,−2,3 ),𝐵(2,3,−4),𝐶(2,−3,−4 ),𝐷(−2,−3,1 )
解：
𝐴(1,−2,3)：第四卦限；𝐵(2,3,−4)：第五卦限；𝐶(2,−3,−4 )：第八卦限；𝐷(−2,−3,1 )：第三卦限
在空间直角坐标系中，求出点(2,3,4)到𝑥轴、𝑦轴、𝑧轴的距离.
解：到𝑥轴的距离为ඥ𝑦ଶ + 𝑧ଶ = √3ଶ +4 ଶ =5 ；
到𝑦轴的距离√𝑥ଶ + 𝑧ଶ = √2ଶ +4 ଶ =2 √5，到𝑧轴的距离ඥ𝑥ଶ + 𝑦ଶ = √2ଶ +3 ଶ = √13.
空间单个向量的方向角：
1
: .
高等数学（part 2） 基础精学讲义 （编写：李天意）
求平行于向量𝑎⃗ = (6,7,−6)的单位向量，以及该向量与三个坐标轴的夹角余弦值。
解：|𝑎⃗| = ඥ6ଶ +7 ଶ + (−6)ଶ =11
ሬ⃗ ଵ
所求单位向量𝑒⃗ =± =± (6,7,−6) =± ቀ , ,− ቁ
|ሬ⃗| ଵଵ ଵଵ ଵଵ ଵଵ
与𝑥,𝑦,𝑧轴的夹角余弦值分别为 , ,− .
ଵଵ ଵଵ ଵଵ
点乘 / 数量积 / 内积 叉乘 / 向量积 / 外积
表达形式
含义
得到数值： 得到一个新的向量
计算
于是：
两向量垂直：点积为 0
注意：
两向量平行的充要条件：叉积为 0
矢量的点乘与叉乘能够帮助我们有效处理空间中有关向量的问题：
2
: .
高等数学（part 2） 基础精学讲义 （编写：李天意）
（1）利用点乘，获得向量间的角度，以及投影信息；
（2）利用叉乘，得到垂直的向量，以及两个向量张成的平行四边形的面积；
（3）关于点乘的逆向应用，求得有关三角函数的最值问题，与后续梯度的概念相关。
已知三点𝑀(1,1,1),𝐴(2,2,1),𝐵(2,1,2)，求∠𝐴𝑀𝐵
解：ሬ𝑀𝐴ሬ𝑀𝐴ሬሬሬሬሬ⃗ = (1,1,0),ሬ𝑀𝐵ሬ𝑀𝐵ሬሬሬሬሬ⃗ = (1,0,1)
ሬ𝑀𝐴ሬ𝑀𝐴ሬሬሬሬሬ⃗ ⋅ ሬ𝑀𝐵ሬ𝑀𝐵ሬሬሬሬሬ⃗ = หሬ𝑀𝐴ሬ𝑀𝐴ሬሬሬሬሬ⃗หหሬ𝑀𝐵ሬ𝑀𝐵ሬሬሬሬሬ⃗ห ⋅cos∠ 𝐴𝑀𝐵𝑀𝐴ሬሬሬሬሬሬ⃗ ⋅ ሬ𝑀𝐵ሬ𝑀𝐵ሬሬሬሬሬ⃗ =1+0+0=1
且：หሬ𝑀𝐴ሬ𝑀𝐴ሬሬሬሬሬ⃗ห = √2,หሬ𝑀𝐵ሬ𝑀𝐵ሬሬሬሬሬ⃗ห = √2
ሬ𝑀𝐴ሬ𝑀𝐴ሬሬሬሬሬ⃗ ⋅ ሬ𝑀𝐵ሬ𝑀𝐵ሬሬሬሬሬ⃗ 1 𝜋
cos∠𝐴𝑀𝐵 = = ，∠𝐴𝑀𝐵 =
หሬ𝑀𝐴ሬ𝑀𝐴ሬሬሬሬሬ⃗หหሬ𝑀𝐵ሬ𝑀𝐵ሬሬሬሬሬ⃗ห 2 3
质点从𝐴(1,2,3)沿直线运动至点𝐵(4,6,8)，求一个力𝐹⃗ = (3,1,4)在该过程中所做的功。并求出𝐹⃗在ሬ𝐴𝐵ሬ𝐴𝐵ሬሬሬሬ⃗方
向上的分量和垂直分量。
解：ሬ𝐴𝐵ሬ𝐴𝐵ሬሬሬሬ⃗ = (3,4,5)，做功𝑊 = หሬ𝐴𝐵ሬ𝐴𝐵ሬሬሬሬ⃗หห𝐹⃗หcos𝜃
而ሬ𝐴𝐵ሬ𝐴𝐵ሬሬሬሬ⃗ ⋅ 𝐹⃗ = หሬ𝐴𝐵ሬ𝐴𝐵ሬሬሬሬ⃗หห𝐹⃗หcos𝜃 =3×3+1×4+4×5=33 ，所以做功𝑊 =33 .
𝐹⃗在ሬ𝐴𝐵ሬ𝐴𝐵ሬሬሬሬ⃗方向上的分量ሬ𝐹ሬ𝐹ሬሬଵ⃗ = ห𝐹⃗หcos𝜃 ⋅ 𝑒⃗（𝑒⃗是ሬ𝐴𝐵ሬ𝐴𝐵ሬሬሬሬ⃗方向的单位向量）
ሬ𝐴𝐵ሬ𝐴𝐵ሬሬሬሬ⃗ ⋅ 𝐹⃗ ሬ𝐴𝐵ሬ𝐴𝐵ሬሬሬሬ⃗ ሬ𝐴𝐵ሬ𝐴𝐵ሬሬሬሬ⃗ ⋅ 𝐹⃗ 33 99 66 33
ሬ𝐹ሬ𝐹ሬሬଵ⃗ = ห𝐹⃗หcos𝜃 ⋅ 𝑒⃗ = ⋅ = ⋅ ሬ𝐴𝐵ሬ𝐴𝐵ሬሬሬሬ⃗ = ⋅ (3,4,5) = ൬ , , ൰
ሬሬሬሬሬ⃗ ሬሬሬሬሬ⃗ ଶ 3ଶ +4 ଶ +5 ଶ 50 25 10
ห𝐴𝐵ห ห𝐴𝐵ห หሬ𝐴𝐵ሬ𝐴𝐵ሬሬሬሬ⃗ห
ሬሬሬ⃗ ⃗ ሬሬሬ⃗ ଽଽ ଷଷ ହଵ ସଵ
垂直分量𝐹ଶ = 𝐹 − 𝐹ଵ = (3,1,4) − ቀ , , ቁ = ቀ ,− , ቁ
ହ ଶହ ଵ ହ ଶହ ଵ
ሬ⃗⋅ሬ⃗ ሬ⃗⋅ሬ⃗
总结：𝑎⃗与𝑏ሬ⃗平行的分量为𝑎⃗ଵ = మ ⋅ 𝑏ሬ⃗，垂直的分量为𝑎⃗ଶ = 𝑎⃗ − మ ⋅ 𝑏ሬ⃗
หሬ⃗ห หሬ⃗ห
设向量𝑎⃗ = (2,−3,1 ),𝑏ሬ⃗ = (1,−2,3 ),𝑐⃗ = (2,1,2)，向量𝑟⃗满足𝑟⃗ ⊥ 𝑎⃗, 𝑟⃗ ⊥ 𝑏ሬ⃗,Prj ⃗𝑟⃗ =14 ，求𝑟⃗的坐标
解法一：根据题目信息，设𝑟⃗ = (𝑥,𝑦,𝑧)，则对应有方程：
3
: .
高等数学（part 2） 基础精学讲义 （编写：李天意）
解得𝑟⃗ = (𝑥,𝑦,𝑧) =(14,10,2)
解法二：根据𝑟⃗ ⊥ 𝑎⃗, 𝑟⃗ ⊥ 𝑏ሬ⃗，则 ，于是有：
⃗⋅⃗
由此设𝑟⃗ = 𝑘(−7,−5,−1) ，Prj ⃗𝑟⃗ = =−7 𝑘 =14 ，所以𝑘 =−2 ，𝑟⃗ =(14,10,2)