文档介绍：第一部分集合
:元素是函数关系中自变量的取值?还是因变量的取值?还是曲线上的点?…;
:解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决;
3.(1)含n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n-1;非空真子集的数为2n-2;
(2) 注意:讨论的时候不要遗忘了的情况。
,是任何非空集合的真子集。
第二部分函数与导数
:注意①第一个集合中的元素必须有象;②一对一,或多对一。
:①分析法;②配方法;③判别式法;④利用函数单调性;
⑤换元法;⑥利用均值不等式; ⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、绝对值的意义等);⑧利用函数有界性(、、等);⑨导数法
(1)复合函数定义域求法:
①若f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出
②若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域。
(2)复合函数单调性的判定:
①首先将原函数分解为基本函数:内函数与外函数;
②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性;
③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。
:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。
⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件;
⑵是奇函数f(-x)=-f(x);是偶函数f(-x)= f(x)
⑶奇函数在原点有定义,则;
⑷在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性;
⑸若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性;
⑴单调性的定义:
①在区间上是增函数当时有;
②在区间上是减函数当时有;
⑵单调性的判定
定义法:一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断符号;
②导数法(见导数部分);③复合函数法;④图像法。
注:证明单调性主要用定义法和导数法。
(1)周期性的定义:对定义域内的任意,若有(其中为非零常数),则称函数为周期函数,为它的一个周期。
所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期。
(2)三角函数的周期
①;②;③;
④;⑤;
(3)与周期有关的结论
或的周期为;
⑴幂函数: ( ;⑵指数函数:;
⑶对数函数:;⑷正弦函数:;
⑸余弦函数: ;(6)正切函数:;⑺一元二次函数:;
⑻其它常用函数:
正比例函数:;②反比例函数:;③函数;
:
⑴解析式:
①一般式:;②顶点式:,为顶点;
③零点式: 。
⑵二次函数问题解决需考虑的因素:
①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。
二次函数的图象的对称轴方程是,顶点坐标是。 :
⑴图象作法:①描点法(特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法③导数法
⑵图象变换:
平移变换:ⅰ),———左“+”右“-”;
ⅱ)———上“+”下“-”;
对称变换:ⅰ;ⅱ;
ⅲ; ⅳ;
翻转变换:
ⅰ)———右不动,右向左翻(在左侧图象去掉);
ⅱ)———上不动,下向上翻(||在下面无图象);
(曲线)对称性的证明
(1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;
(2)证明函数与图象的对称性,即证明图象上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点在的图象上,反之亦然;
注:①曲线C1:f(x,y)=0关于点(0,0)的对称曲线C2方程为:f(-x,-y)=0;
②曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C2方程为:f(-x, y)=0;
曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C2方程为:f(x, -y)=0;
曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线C2方程为:f(y, x)=0
③f(a+x)=f(b-x) (x∈R)→y=f(x)图像关于直线x=对称;
特别地:f(a+x)=f(a-x) (x∈R)→y=f(x)图像关于直线x=a对称;
:
⑴直接法(求的根);⑵图象法;⑶二分法.
(4)零点定理:若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)f(b)<0,则y=f(x)在(a,b)内至少有一个零点。
⑴导数定义:f(x)在点x0