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直线、平面平行的判定及其性质
直线、平面平行的判定及其性质
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直线、平面平行的判定及其性质
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直线、平面平行的判定及其性质
二、知识要点梳理
知识点一：直线和平面平行的判定
直线和平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为:线线平行，则线面平行。
符号表示:、，.
知识点二:两平面平行的判定
两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
符号表示：若、，，且、,则。
知识点三：直线和平面平行的性质
直线和平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：若，，,则。
知识点四：平面和平面平行的性质定理
平面和平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.
符号表示：若，，,则。
三、规律方法指导
、平面之间的平行关系:线线平行线面平行面面平行.
2。有关线面、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆：
空间之中两直线,平行相交和异面．
直线、平面平行的判定及其性质
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线线平行同方向,等角定理进空间．
判断线和面平行，面中找条平行线;
已知线和面平行，过线作面找交线．
要证面和面平行，面中找出两交线．
线面平行若成立，面面平行不用看．
已知面与面平行，线面平行是必然．
若与三面都相交，则得两条平行线．
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经典例题透析
类型一:直线与平面平行的证明
，E、F分别为AB、PD的中点,求证：AF∥平面PEC。
思路点拨：证明线面平行,根据判定定理,作出平行四边形，利用平行四边形的性质，证明平面外直线与平面上的直线平行。
证明：设PC的中点为G，连接EG、FG．
∵F为PD中点，∴GF∥CD且GF=CD．
∵AB∥CD，AB=CD，E为AB中点，
∴GF∥AE，GF=AE，四边形AEGF为平行四边形．
∴EG∥AF,
又∵AF平面PEC,EG平面PEC，∴AF∥平面PEC．
总结升华：要证明直线和平面平行,只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了．注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用．
举一反三：
【变式1】在正方体中,E、F分别为棱BC、的中点．求证：EF∥平面．
证明：连接AC交BD于O，连接OE,则OE∥DC，OE=DC．
∵DC∥，DC=，F为的中点，
∴OE∥，OE=,四边形为平行四边形．
∴EF∥．
又∵EF平面,平面,
∴EF∥平面．
【变式2】如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：AM∥平面EFG．
证明：如右图，连结DM，交GF于O点,
连结OE，
在△BCD中，G、F分别是BD、CD中
点，∴GF∥BC，
∵G为BD中点，∴O为MD中点,
在△AMD中，
∵E、O为AD、MD中点,∴EO∥AM，
又∵AM
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平面EFG，EO平面EFG，
∴AM∥平面EFG．
类型二:平面与平面平行的证明
，在正方体中,M、N、P分别是、、的中点,求证:平面MNP∥平面.
思路点拨：利用平面与平面的判定定理。
证明：连结,∵P、N分别是、的中点，∴PN∥．
又∥BD，∴PN∥BD．
又PN不在平面上，∴PN∥平面．
同理，MN∥平面．又PN∩MN=N，∴平面PMN∥平面．
3。正方体中．
(1)求证：平面∥平面；
（2）若E、F分别是、的中点，求证：平面∥平面FBD．
证明:(1)由，,
得四边形是平行四边形，∴，
又BD平面,平面,
∴BD∥平面．
同理∥平面．而，
∴平面∥平面．
（2）由BD∥，得BD∥平面．取中点G，∴AE∥．
从而得∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴∥DF．
∴DF∥平面，，
∴平面∥平面FBD．
总结升华：由比例线段得到线线平行,依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行．一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行。
举一反三:
【变式1】直四棱柱中,底面ABCD为正方形,边长为2，侧棱，M、N分别为、的中点,E、F分别是、的中点．
（1)求证：平面AMN∥平面EFDB；
（2）求平面AMN与平面EFDB的距离．
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答案:
（1)证明：连接,分别交MN、EF于P、Q．连接AC
交BD于O，连接AP、OQ．
由已知可得MN∥EF，∴MN∥平面EFDB．
由已知可得，PQ∥AO且PQ=AO．
∴AP∥OQ．∴AP∥EFDB平面，，
∴平面AMN∥平面EFDB．
（2）解：过A1作平面AMN与平面EFDB的垂线，垂足为H、，
易得,
由，
根据
则
解得．
所以，平面AMN与平面EFDB的距离为.
类型三:直线与平面平行的性质
，求证：∥。
证明：∵，平面，平面，
∴∥平面．
又平面，平面平面,
∴∥．
则.
，AB∥，AC∥BD，，，求证：AC=BD.
证明:连结CD，
∵AC∥BD,
∴直线AC和BD可以确定一个平面，记为，
∵，，∴，
∵AB∥，AB，，∴AB∥CD，
又∵AC∥BD，∴四边形ACDB为平行四边形，
∴AC=BD.
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