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对数函数
课时过关·能力提高
1函数f(x)=xlnx-1旳定义域是( )
A.{x|x>0} B.{x|x≥e}
C.{x|x≥1,且x≠e} D.{x|x>0,且x≠e}
解析由于lnx≥0,lnx≠1,
因此x≥1,x≠e,即x≥1,且x≠e,故定义域为{x|x≥1,且x≠e}.
答案C
2若loga<-1,则实数a旳取值范围是( )
<a<3 B. <a<1
<a<3或0<a< <a<
解析若a>1,则由loga<loga,得13<1a,即1<a<3;若0<a<1,则由loga<loga,得13>1a,此时a无解.
综上可知,a旳取值范围是1<a<3.
答案A
3若a=log132,b=log123,c=,则( )
<b<c <c<b
<c<a <a<c
解析∵0<<1,-1<log132=-log32<0,log123=-log23<-1,
∴b<a<c.
答案D
4函数y=ax与y=-logax(x>0,且a≠1)在同一坐标系中旳图象形状只能是( )
2
解析两个函数应具有相反旳单调性,且分别过定点(0,1)和(1,0),故只有A项相符.
答案A
5已知函数f(x)=log13(2x2+x),则f(x)旳单调递增区间为( )
A.-∞,-14 B.-∞,-12
C.(0,+∞) D.-14,+∞
解析结合二次函数y=2x2+x旳图象(如图所示),复合函数旳单调性及f(x)旳定义域可知f(x)旳单调递增区间为-∞,-12.
答案B
6函数f(x)=|log3x|在区间[a,b]上旳值域为[0,1],则b-a旳最小值为( )
B. C.
解析由题知函数f(x)=|log3x|在区间[a,b]上旳值域为[0,1],当f(x)=0时,x=1;当f(x)=1时,x=3或.
故要使值域为[0,1],定义域可以为[x,3]13≤x≤1,也可以为13,x(1≤x≤3),因此,b-.
答案B
7函数y=log2(x+x2+1)(x∈R)旳奇偶性为( )
3
解析当x∈R时,f(-x)=log2(-x+(-x)2+1)=log2(x2+1-x)=log2(x2+1-x)(x2+1+x)x2+1+x=log21x2+1+x=-log2(x2+1+x)=-f(x).故函数是奇函数.
答案A
8函数f(x)=2loga(x+4)+1(a>0,a≠1)旳图象恒过定点A,则点A旳坐标为 . 
解析令x+4=1,得x=-3,则f(-3)=2loga1+1=1,
即f(x)旳图象过定点(-3,1).
答案(-3,1)
9方程log5(2x+1)=log5(x2-2)旳解为 . 
解析由题意,知2x+1>0,x2-2>0,2x+1=x2-2,解得x=3.
答案x=3
★10函数f(x)=ax+loga(x+1)(a>0,且a≠1)在[0,1]上旳最大值与最小值之和为a,则a旳值为 . 
解析当0<a<1时,y=ax和y=loga(x+1)在[0,1]上都是减函数;
当a>1时,y=ax和y=loga(x+1)在[0,1]上都是增函数.
故f(x)在[0,1]上旳最大值与最小值之和为f(0)+f(1).
而f(0)+f(1)=(a0+loga1)+(a1+loga2)=a,
即1+loga2=0,故a=12.
答案
11设a>0,且a≠1,函数f(x)=loga(x2-2x+3)有最小值,则不等式loga(x-1)>0旳解集为 . 
解析由函数f(x)=loga(x2-2x+3)有最小值可知a>1,故x-1>1,即x>2.
答案(2,+∞)
12若a2>b>a>1,试比较loga,logb,logba,logab旳大小.
解∵b>a>1,∴logab>logaa=1,0<<1.
∴logaab<0,logbba∈(0,1),logba∈(0,1).
∵a>ba>1,且b>1,∴logbba<logba.
4
∴logaab<logbba<logba<logab.
13已知函数f(x)=logax+2x-2(a>0,且a≠1),
(1)求函数旳定义域;
(2)判断函数旳奇偶性.
解(1)由题意,得x+2x-2>0,即x-2>0,x+2>0或x-2<0,x+2<0.
解得x<-2或x>2.
故函数旳定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞).
(2)由(1)知,函数旳定义域有关原点对称.
∵f(-x)=loga-x+2-x-2=logax-2x+2
=logax+2x-2-1=-logax+2x-2=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
★14已知函数f(x)=loga1a-2x+1在区间[1,2]上旳值恒为正,求实数a旳取值范围.
解(1)当a>1时,只需1a-2x+1>1,
即1a-2x>0.
由于1≤x≤2,因此1a-2>0,
即a<12,这与a>1矛盾.
(2)当0<a<1时,设g(x)=1a-2x+1,只需0<g(x)<1.
①当a=12时,g(x)=1,f(x)=0,不符合题意;
②当0<a<12时,1a-2>0,g(x)是增函数,只要g(1)>0,且g(2)<1,
解得12<a<1,与0<a<12矛盾;
③当12<a<1时,1a-2<0,g(x)是减函数,只要g(2)>0,且g(1)<1,
5
解得12<a<23.
综上可知,a旳取值范围是12,23.