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一、选择题
1．(2022·山西高校附中月考)在各项都为正数的等比数列{an}中，首项为3，前3项和为21，则a3等于( )
A．15 B．12
C．9 D．6
[答案] B
[解析] 设公比为q(q>0)，则3＋3q＋3q2＝21，∴q2＋q－6＝0，∴q＝2，∴a3＝a1q2＝3×4＝12.
2．(文)(2022·宁夏银川市一中二模)已知等比数列{an}的公比大于1，a3a7＝72，a2＋a8＝27，则a12＝( )
A．96 B．64
C．72 D．48
[答案] A
[解析] a2a8＝a3a7＝72，a2＋a8＝27，∵q>1，
∴，∴q2＝2，∴a12＝a8q4＝96.
(理)(2022·山西重点中学四校联考)等比数列{an}满足an>0，n∈N＋，且a3·a2n－3＝22n(n≥2)，则当n≥1时，log2a1＋log2a2＋…＋log2a2n－1＝( )
A．n(2n－1) B．(n＋1)2
C．n2 D．(n－1)2
[答案] A
[解析] ∵a3·a2n－3＝a＝22n，∴an＝2n，∴log2a1＋log2a2＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a2…a2n－1)＝log2a＝(2n－1)log2an＝n(2n－1)．
3．(文)(2021·西安模拟)已知a，b，m，n，x，y均为正数，且a≠b，若a，m，b，x成等差数列，a，n，b，y成等比数列，则有( )
A．m>n，x>y B．m>n，x<y
C．m<n，x<y D．m<n，x>y
[答案] B
[解析] 由条件得，2m＝a＋b，n2＝ab，∵a、b、x、y、m、n都是正数且a≠b，∴n＝<＝m，排解C、D；取a＝1，b＝4，则x＝，y＝8，排解A，∴选B．
(理)在由正数组成的等比数列{an}中，设x＝a5＋a10，y＝a2＋a13，则x与y的大小关系是( )
A．x＝y B．x≥y
C．x≤y D．不确定
[答案] C
[解析] x－y＝a1q(1－q3)(q8－1)．
当q＝1时，x＝y；
当q>1时，1－q3<0而q8－1>0，x－y<0；
当0<q<1时，1－q3>0而q8－1<0，x－y<．
4．(文)已知数列{an}的前n项的和Sn满足Sn＝2n－1(n∈N*)，则数列{a}的前n项的和为( )
A．4n－1 B．(4n－1)
C．(4n－1) D．(2n－1)2
[答案] B
[解析] n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1，
又a1＝S1＝21－1＝1也满足，∴an＝2n－1(n∈N*)．
设bn＝a，则bn＝(2n－1)2＝4n－1，
∴数列{bn}是首项b1＝1，公比为4的等比数列，故{bn}的前n项和Tn＝＝(4n－1)．
(理)(2021·西安标准化考试)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则公比q为( )
A．q＝－2 B．q＝1
C．q＝－2或q＝1 D．q＝2或q＝－1
[答案] A
[解析] 本题有两种处理策略，一是设出首项a1，建立方程＝＋求解，解得q＝－，但运算简洁；二是特例探路，不妨设n＝1，则Sn＋1，Sn，Sn＋2即是S2，S1，S3，依据等差数列的性质可知，2S1＝S2＋S3，即2a1＝a1(1＋q)＋a1(1＋q＋q2)，易得q＝－．
5．(文)(2021·安徽省级示范高中名校联考)三个实数a，b，c成等比数列，且a＋b＋c＝3，则b的取值范围是( )
A．[－1,0) B．(0,1]
C．[－1,0)∪(0,3] D．[－3,0)∪(0,1]
[答案] D
[解析] 设公比为q，明显q≠0，a＋b＋c＝b(＋1＋q)＝3⇒b＝.
当q>0时，q＋≥2，当且仅当q＝1时等号成立，∴0<b≤1；当q<0时，q＋≤－2，当且仅当q＝－1时等号成立，∴－3≤b<．
(理)若数列{an}是正项递减等比数列，Tn表示其前n项的积，且T8＝T12，则当Tn取最大值时，n的值等于( )
A．9 B．10
C．11 D．12
[答案] B
[解析] ∵T8＝T12，∴a9a10a11a12＝1，又a9a12＝a10a11＝1，且数列{an}是正项递减数列，所以a9>a10>1>a11>a12，因此T10取最大值．
6．将正偶数集合{2,4,6，…}从小到大按第n组有2n个偶数进行分组如下：
第一组 其次组 第三组 …
{2,4} {6,8,10,12} {14,16,18,20,22,24,26,28} …
则2022位于( )
A．第7组 B．第8组
C．第9组 D．第10组
[答案] C
[解析] 前n组共有2＋4＋8＋…＋2n＝＝2n＋1－2个数．
由an＝2n＝2022知，n＝1007，∴2022为第1007个偶数，
∵29＝512,210＝1024，故前8组共有510个数，前9组共有1022个数，即2022在第9组．
二、填空题
7．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．
[答案]
[解析] 等比数列的通项公式为an＝(－3)n－，奇数项全为正值．
若an≥8，则n为奇数且(－3)n－1＝3n－1≥8，则n－1≥2，∴n≥3，∴n＝3,5,7,9，共四项满足要求．∴p＝1－＝.
[点评] 直接考虑状况较多时，可以从其对立面来考虑问题．
8．(文)(2021·浙江湖州中学)已知数列{an}是正项等比数列，若a1＝32，a4＝4，则数列{log2an}的前n项和Sn的最大值为________．
[答案] 15
[解析] ∵a1＝32，a4＝4，∴q＝，an＝32·()n－1，log2an＝log2[32·()n－1]＝5＋(n－1)log2＝6－n，
由6－n≥0，得n≤6，∴前5项(或6项)和最大，S5＝＝15.
(理)(2022·河北衡水中学二调)在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8·a9＝－，则＋＋＋＝________.
[答案] －
[解析] ∵＋＝，＋＝，而a8a9＝a7a10，
∴＋＋＋＝＝＝－.
9．已知a、b、c成等比数列，假如a、x、b和b、y、c都成等差数列，则＋＝________.
[答案] 2
[解析] 由条件知x＝，y＝，c＝bq，a＝，
∴＋＝＋＝＋
＝＋＝2.
三、解答题
10．(文)已知数列{an}中，a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，且对任意n∈N*，有an＋1＝kSn＋1(k为常数)．
(1)当k＝2时，求a2、a3的值；
(2)试推断数列{an}是否为等比数列？请说明理由．
[解析] (1)当k＝2时，an＋1＝2Sn＋1，
令n＝1得a2＝2S1＋1，又a1＝S1＝1，得a2＝3；
令n＝2得a3＝2S2＋1＝2(a1＋a2)＋1＝9，∴a3＝9.
∴a2＝3，a3＝9.
(2)由an＋1＝kSn＋1，得an＝kSn－1＋1，
两式相减，得an＋1－an＝kan(n≥2)，
即an＋1＝(k＋1)an(n≥2)，
且＝＝k＋1，故an＋1＝(k＋1)an.
故当k＝－1时，an＝
此时，{an}不是等比数列；
当k≠－1时，＝k＋1≠0，此时，{an}是首项为1，公比为k＋1的等比数列．
综上，当k＝－1时，{an}不是等比数列；
当k≠－1时，{an}是等比数列．
(理)(2021·湖北)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2＋a3＋a4＝－18.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)是否存在正整数n，使得Sn≥2021？若存在，求出符合条件的全部n的集合；若不存在，说明理由．
[解析] (1)设数列{an}的公比为q，则a1≠0，q≠0，
由条件易知q≠
即
解得
故数列{an}的通项公式为an＝3×(－2)n－1.
(2)由(1)有Sn＝＝1－(－2)n.
若存在n，使得Sn≥2021，则1－(－2)n≥2021，
即(－2)n≤－2022.
当n为偶数时，(－2)n>0，上式不成立；
当n为奇数时，(－2)n＝－2n≤－2022，即2n≥2022，则n≥11.
综上，存在符合条件的正整数n，且全部这样的n的集合为{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}．
一、选择题
11．(文)已知等比数列{an}的公比q>0，其前n项的和为Sn，则S4a5与S5a4的大小关系是( )
A．S4a5<S5a4 B．S4a5>S5a4
C．S4a5＝S5a4 D．不确定
[答案] A
[解析] (1)当q＝1时，S4a5－S5a4＝4a－5a＝－a<0.
(2)当q≠1且q>0时，
S4a5－S5a4＝(q4－q8－q3＋q8)＝(q－1)
＝－aq3<0.
[点评] 作差，依据前n项和与通项公式化简后推断符号是解决这类问题的基本方法，应留意对公比分类争辩，请再做下题：
已知等比数列{an}中，a1>0，q>0，前n项和为Sn，试比较与的大小．
[解析] 当q＝1时，＝3，＝5，所以<；
当q>0且q≠1时，
－＝－
＝＝<0，
所以有<.
综上可知有<.
(理)已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，设P＝(＋)，Q＝，P与Q的大小关系是( )
A．P≥Q B．P<Q
C．P≤Q D．P>Q
[答案] D
[解析] P＝＝，Q＝，
∵q≠1，∴a3≠a9，
∴>，
又∵y＝(0，＋∞)上递减，
∴<，即Q<．
12．(2022·上海虹口二模)已知数列{an}是首项为a1，公差为d(0<d<2π)的等差数列，若数列{cosan}是等比数列，则其公比为( )
A．1 B．－1
C．±1 D．2
[答案] B
[解析] 由于数列{cosan}是等比数列，
所以cos2(a1＋d)＝cosa1·cos(a1＋2d)＝cos(a1＋d－d)·cos(a1＋d＋d)＝cos2(a1＋d)cos2d－sin2(a1＋d)sin2d，
所以sin2d[cos2(a1＋d)＋sin2(a1＋d)]＝0，
所以sin2d＝0，sind＝0，
由于0<d<2π，所以d＝π.
公比q＝＝＝－1.
13．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是( )
A．4 B．5
C．6 D．7
[答案] D
[解析] 由程序框图可知，S＝1＋2＋22＋…＋2k＝2k＋1－1，由S<100得，2k＋1<101，
∵26＝64,27＝128，∴k＋1＝7，∴k＝6，结合语句k＝k＋1在S＝S＋2k后面知，当k＝6时，S＝127，k的值再增加1后输出k值为7.
[点评] 这是最简洁出错的地方，解这类题时，既要考虑等比数列求和，在k取何值时，恰满足S≥100，又要顾及S与k的赋值语句的先后挨次．
二、填空题
14．(2022·湖南岳阳质检)已知数列{an}的首项为a1＝2，且an＋1＝(a1＋a2＋…＋an)(n∈N*)，记Sn为数列{an}的前n项和，则Sn＝________，an＝________.
[答案] 2×()n－1
[解析] 由an＋1＝(a1＋a2＋…＋an)(n∈N*)，可得an＋1＝Sn，所以Sn＋1－Sn＝Sn，即Sn＋1＝Sn，由此可知数列{Sn}是一个等比数列，其中首项S1＝a1＝2，公比为，所以Sn＝2×()n－1，由此得an＝
15．已知等差数列{an}首项为a，公差为b，等比数列{bn}首项为b，公比为a，其中a、b都是大于1的正整数，且a1<b1，b2<a3，那么a＝________；若对于任意的n∈N*，总存在m∈N*，使得bn＝am＋3成立，则an＝________.
[答案] 2 5n－3
[解析] 由已知条件可得即
若a＝2，明显符合条件；若a>2，则a<b<，解得a<3，即2<a<3，即不存在a满足条件，由此可得a＝2.
当a＝2时，an＝2＋(n－1)b，bn＝b×2n－1，若存在m∈N*，使得bn＝am＋3成立，则b×2n－1＝2＋(m－1)b＋3，即得b×2n－1＝bm＋5－b，当b＝5时，方程2n－1＝m总有解，此时an＝5n－3.
16．(2022·辽宁抚顺六校联合体期中){an}为等比数列，若a3和a7是方程x2＋7x＋9＝0的两个根，则a5＝________.
[答案] －3
[解析] 由已知，得∴a3，a7均为负数，那么这个等比数列的奇数项应都为负数，
a5＝－＝－3.
三、解答题
17．(文)(2021·洛阳统考)已知数列{an}中，a1＝2，其前n项和Sn满足Sn＋1－Sn＝2n＋1(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式an以及前n项和Sn；
(2)令bn＝2log2an＋1，求数列{}的前n项和Tn.
[解析] (1)由Sn＋1－Sn＝2n＋1得an＋1＝2n＋1，即an＝2n(n≥2)．
又a1＝2，所以an＝2n(n∈N*)．
从而Sn＝2＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－2.
(2)由于bn＝2log2an＋1＝2log22n＋1＝2n＋1，
所以＝
＝(－)．
于是Tn＝[(－)＋(－)＋…＋(－)]＝(－)＝.
(理)(2021·长春三校调研)已知等比数列{an}满足an＋1＋an＝9·2n－1，n∈N.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，若不等式Sn>kan－2对一切n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．
[解析] (1)设等比数列{an}的公比为q，
∵an＋1＋an＝9·2n－1，n∈N*，∴a2＋a1＝9，a3＋a2＝18，
∴q＝＝＝2，∴2a1＋a1＝9，∴a1＝3.
∴an＝3·2n－1，n∈N*.
(2)由(1)知Sn＝＝＝3(2n－1)，
∴不等式化为3(2n－1)>k·3·2n－1－2，
即k<2－对一切n∈N*恒成立．
令f(n)＝2－，易知f(n)随n的增大而增大，
∴f(n)min＝f(1)＝2－＝，∴k<.
∴实数k的取值范围为(－∞，)．
18．(2022·四川“联测促改”)学校餐厅每天供应500名同学用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择．调查表明，凡是在这星期一选A菜的，下星期一会有改选B菜；而选B菜的，下星期一会有改选A菜．用an，bn分别表示第n个星期选A的人数和选B的人数．
(1)试用an－1(n∈N*，n≥2)表示an，推断数列{an－300}是否成等比数列并说明理由；
(2)若第1个星期一选A种菜的有200人，那么第10个星期一选A种菜的大约有多少人？
[解析] (1)由题知，对n∈N*有bn＝500－an，
所以当n∈N*且n≥2时，
an＝an－1＋(500－an－1)，即an＝an－1＋150.
∴an－300＝(an－1－300)，
∴当a1＝300时，{an－300}不是等比数列；
当a1≠300时，{an－300}是以a1－300为首项，为公比的等比数列．
(2)当a1＝200时，an－300＝()n－1(a1－300)，即an＝300－，∴a10＝300－≈300.
∴第10个星期一选A种菜的大约有300人．