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课时提升作业(二十)
一、选择题
1.(2021·百色模拟)计算cos215°-sin215°的值为( )
(A) (B) (C) (D)
2.(2022·大纲版全国卷)已知α为其次象限角,sinα=,则sin2α=( )
(A)- (B)- (C) (D)
3.(2021·赣州模拟)已知sin(α+)+cosα=,则sin(α+)的值为( )
(A) (B) (C) (D)
4.(2021·柳州模拟)已知sinα=,α为其次象限角,且tan(α+β)=1,则tanβ的值是( )
(A)-7 (B)7 (C)- (D)
(α-β)cosα+sin(α-β)sinα=-,又β∈(π,),则cos的值
为( )
(A) (B)
(C)- (D)-
6.(2021·桂林模拟)已知0<θ<π,tan(θ+)=,那么sinθ+cosθ=( )
(A)- (B) (C)- (D)
二、填空题
:sin2x+2sinxcosx+3cos2x= .
:0°<α<90°,0°<α+β<90°,3sinβ=sin(2α+β),则tanβ的最大值是 .
=,cosβ=,其中α,β∈(0,),则α+β= .
三、解答题
10.(2021·南宁模拟)已知0<x<,sin(-x)=,求的值.
:.
12.(力气挑战题)已知α为锐角,且tan(+α)=2.
(1)求tanα的值.
(2)求的值.
答案解析
1.【解析】选C.∵cos215°-sin215°=cos 30°=,∴选项C正确.
2.【解析】选A.∵α是其次象限角且sinα=,∴cosα=-=-,
∴sin 2α=2sinα·cosα=2××(-)=-.
3.【解析】:sinαcos+cosαsin+cosα=,
即sinα+cosα=,
即sinα+cosα=,
即sin(α+)=.
4.【解析】选B.∵sinα=,α为其次象限角,∴cosα=-,则tanα=-,
∴tanβ=tan[(α+β)-α]===7.
5.【解析】(α-β)cosα+sin(α-β)sinα
=cos[(α-β)-α]=cos(-β)=-.
∵π<β<,∴<<.
cosβ=2cos2-1=-,∴cos2=.
∴cos=-.
6.【解析】选A.∵tan(θ+)=
==,
∴tanθ=-.∵θ∈(0,π),
∴sinθ=,cosθ=-,
∴sinθ+cosθ=-.
7.【解析】原式=2sinxcosx+2cos2x+cos2x+sin2x
=sin2x+1+cos2x+1
=sin(2x+)+2
答案:sin(2x+)+2
8.【解析】由3sinβ=sin(2α+β)得3sin(α+β-α)=sin(α+β+α),化简得sin(α+β)cosα=2cos(α+β)sinα,
∴tan(α+β)=2tanα,
∴tanβ=tan(α+β-α)=
==.
由题意知,tanα>0,
∴+2tanα≥2
(当且仅当=2tanα,即tanα=时等号成立),
∴tanβ的最大值为=.
答案:
【方法技巧】三角函数和差公式的机敏应用
(1)三角函数和差公式在三角函数式的化简和求值中经常用到,因此公式的机敏应用格外关键,公式可以正用、逆用、变形应用.
(2)逆用关键在于构造公式的形式,方法是通过三角恒等变换,毁灭和或差的形式,即毁灭能逆用公式的条件;有时通过两式平方相加减,利用平方关系式,切函数化成弦函数等技巧.
9.【解析】∵α,β∈(0,),sinα=,cosβ=,
∴cosα=,sinβ=.
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
=×-×=0.
∵α,β∈(0,),∴0<α+β<π.
∴α+β=.
答案:
10.【解析】∵(-x)+(+x)=,∴cos(+x)=sin(-x)=,∵0<x<,∴0<-x<,
∴cos(-x)==,
cos2x=sin(-2x)=sin2(-x)
=2sin(-x)cos(-x)=.
∴==.
11.【解析】原式=
===2+.
12.【解析】(1)tan(+α)=,
所以=2,1+tanα=2-2tanα,
所以tanα=.
(2)=
===sinα,
由于tanα=,所以cosα=3sinα,
又sin2α+cos2α=1,
所以sin2α=,
又α为锐角,所以sinα=,
所以=.
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