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数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。
留意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码精确 粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必需用2B铅笔填涂；，字体工整、笔迹清楚。
3．请依据题号挨次在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必需用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
U
A
B
1．设全集，集合，集合，则图中阴影部
分所表示的集合是
（A） （B）
（C） （D）
2．已知i为虚数单位，则
（A） （B） （C） （D）
3．已知是第四象限角，且，则
（A） （B） （C） （D）
4．已知实数满足，则目标函数的最大值为
（A）-4 （B）1 （C）2 （D）3
5. 已知随机变量ξ听从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ>3)＝，则P(－1≤ξ≤3)等于
（A） （B） （C） （D）
6．等于
（A） （B） （C） （D）
O
y
x
O
y
x
O
y
x
7．现有三个函数：①，②，③的图象（部分）如下：
则依据从左到右图象对应的函数序号支配正确的一组是
（A）①②③ （B）③①② （C）②①③ （D）③②①
8．已知执行如下左图所示的程序框图，输出的，则推断框内的条件可以是
（A） （B） （C） （D）
开头
k=1 S=1
S = 3S+2
k = k+1
否
输出S
结束
是
（第8题图）
（第9题图）
9．一个几何体的三视图如上右图，则其表面积为
（A）20 （B）18 （C） （D）
10．边长为4的正方形ABCD的中心为O，以O为圆心，1为半径作圆，点M是圆O上的任意一点，点N是边AB、BC、CD上的任意一点（含端点），则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
11．已知边长为1的等边三角形与正方形有一公共边，二面角
的余弦值为，若A、B、C、D、E在同一球面上，则此球的体积为
（A） （B） （C） （D）
12．若存在直线l与曲线和曲线都相切，则称曲线和曲线为“相关曲线”， 有下列四个命题：
①有且只有两条直线l使得曲线和曲线为“相关曲线”；
②曲线和曲线是“相关曲线”；
③当时，曲线和曲线确定不是“相关曲线”；
④必存在正数使得曲线和曲线为“相关曲线”.
其中正确命题的个数为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
第Ⅱ卷
～第21题为必考题，～第24题为选考题，考生依据要求作答.
二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分。
13．从5名志愿者中选出4人，分别参与两项公益活动，每项活动2人，则不同支配方案的种数为 .（用数字作答）
14．设是公比不为1的等比数列，其前n项和为，若成等差数列，则 .
15．把函数图象上各点向右平移个单位，得到函数的图象，则的最小值为 .
16．已知直线与抛物线交于A，B两点，点P为直线l上一动点，M，N是抛物线C上两个动点，若，， 则△PMN的面积的最大值为 .
三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，设S为△ABC的面积，满足.
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若，设，，求函数的解析式和最
大值.
18．（本小题满分12分）
某学校争辩性学习小组对该校高三同学视力状况进行调查，在高三的全体1000名同学中随机抽取了100名同学的体检表，并得到如下直方图:
频率/组距
视力
（Ⅰ）若直方图中前三组的频数成等比数列，后四组的频数成等差数列，；
（Ⅱ）学习小组成员发觉，学习成果突出的同学，近视的比较多，为了争辩同学的视力与学习成果是否有关系，对班级名次在1~50名和951~1000名的同学进行了调查，得到如下数据：
是否近视
班级名次
1~50
951~1000
近视
41
32
不近视
9
18
依据表中的数据，?
（Ⅲ）在（Ⅱ）中调查的100名同学中，依据分层抽样在不近视的同学中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼名次在1~50名的同学人数为，求的分布列和数学期望.
P(K2≥k)
k
附：
19．（本小题满分12分）
如图，在多面体ABCDEF中，正方形与梯形所在平面相互垂直，，,，分别为和的中点.
A
B
F
E
D
C
N
M
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值.
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△的周长为.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点作与直线l平行的直线m，且直线m与抛物线交于P、Q两点，若A、P在x轴上方，直线PA与直线QB相交于x轴上一点M，求直线l的方程.
21．（本小题满分12分）
设函数.
（Ⅰ）争辩函数的单调性；
（Ⅱ）假如对全部的≥0，都有≤，求的最小值；
（Ⅲ）已知数列中，，且，若数列的前n项和为，求证：.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，假如多做，.
A
B
C
E
F
D
.
O
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，在△ABC中，，以为直径的⊙O交于，过点作⊙O的切线交于，交⊙O于点．
（Ⅰ）证明：是的中点；
（Ⅱ）证明：.
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中曲线C的极坐标方程为，点. 以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点.
（Ⅰ）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；
（Ⅱ）求点M到A，B两点的距离之积.
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数，，.
（Ⅰ）当时，若对任意恒成立，求实数b的取值范围；
（Ⅱ）当时，求函数的最小值.
2021年吉林市一般高中高三复习第三次调研测试卷
数学(理科)参考答案及评分标准
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，假如考生的解法与本解答不同，可依据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步毁灭错误时，假如后继部分的解答未转变该题的内容和难度，可视影响的程度打算后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；假如后继部分的解答有较严峻的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：每小题5分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
A
C
B
D
C
C
A
C
D
C
二、填空题：每小题5分
14. 5 15.
三、解答题
：
（Ⅰ）由已知及三角形面积公式和余弦定理得
……2分∴，又 ……4分所以 ……5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，△ABC的内角和，又得． ……6分
由正弦定理，知， ……7分
……8分
所以
……10分
当，即时，取得最大值 ……12分
：
（Ⅰ）设各组的频率为，
由前三组的频数成等比数列，后四组的频数成等差数列，可得前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，故
，， ……1分
所以由得， ……2分
-=， ……3分
……4分
（Ⅱ） ……. ……7分
（Ⅲ）依题意9人中班级名次在1~50名和951~1000名分别有3人和6人， ……8分
可取0,1,2,3
，
，
，
X的分布列为
X
0
1
2
3
P
……11分
X的数学期望 ……12分
：
（Ⅰ）在梯形中，取CD中点H，连接BH，由于，，所以四边形ADHB为正方形，又，，所以，所以 ……2分
又平面平面ABCD，平面平面ABCD，
所以平面ABCD， ……4分
，又，故平面. ……5分
A
B
F
E
D
C
N
M
x
y
z
H
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面ABCD，，所以DE,DA,DC两两垂直.
以D为坐标原点建立如图所示直角坐标系，则，，，，，，
……7分
设为平面BMC的法向量，则，即
可取， ……9分
又，所以 ……11分
直线与平面所成的角的正弦值为 ……12分
20．解：
（Ⅰ）依题意，， ……2分
所以， ……3分
故椭圆C的方程为 ……4分
（Ⅱ）设,
直线l的方程为：，直线m的方程为
依题意得
则，可得，令， ……5分
由消去x，得， ……6分
则，把代入，整理，得① ……8分
由 消去x，得， ……9分
则，把代入，整理，得② ……10分
由①②消去，得，解得或或 ……11分
故直线l的方程为：或或 ……12分
21. 解：
（Ⅰ） 的定义域为， ……1分
当时，，当时， ……2分
所以函数在上单调递减，在单调递增. ……3分
（Ⅱ）设，则
由于≥0，故 ……5分
（ⅰ）当时，，，所以在单调递减，而，所以对全部的≥0，≤0，即≤；
（ⅱ）当时，，若，则， 单调递增，而，所以当时，，即；
（ⅲ）当时，，，所以在单调递增，而，所以对全部的，，即；
综上，的最小值为2. ……8分（Ⅲ）由得，，由得，，
所以，数列是以为首项，1为公差的等差数列，
故，， ……9分
由（Ⅱ）知时，，，
即，. ……10分
法一：令，得，
即
由于 ……11分
所以 ……12分
故 ……12分
法二：
下面用数学归纳法证明．
（1）当时，令代入，即得，不等式成立
（2）假设时，不等式成立，即
则时，
令代入，得
即
由（1）（2）可知不等式对任何都成立.
故 ……12分
：
（Ⅰ）证明：连接，由于为⊙O的直径，所以，又，所以CB切⊙O于点B，且ED切于⊙O于点E，因此， ……2分
，，所以，
得，因此，即是的中点 ……5分
（Ⅱ）证明：连接BF，可知BF是△ABE斜边上的高，可得△ABE∽△AFB
于是有，即， ……8分
同理可证
所以 ……10分
：
（Ⅰ），，由得．
所以即为曲线C的直角坐标方程； ……2分
点M的直角坐标为， ……3分
直线l的倾斜角为，故直线l的参数方程为
（t为参数）即（t为参数） ……5分
（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程得
，即， ……7分
，
设A、B对应的参数分别为，则 ……8分 又直线l经过点M，故由t的几何意义得
点M到A，B两点的距离之积 ……12分
24．解：
（Ⅰ）当时，，
……1分
，当且仅当时等号成立 ……4分
实数b的取值范围是 ……5分
（Ⅱ）（Ⅱ）当时， ， ……7分
当时，； ……8分
当时，，当且仅当等号成立； ……9分
故当时，函数取得最小值0. ……10分
命题、校对：马辉 宋军梅 凌志勇 孙忠臣 孙长青
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