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中考数学一模试卷
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，
选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1．（4 分）下列代数式中，不是单项式的是（ ）
1 �+�
A．3mn B． C．0 D．
2� 2
2．（4 分）下列各组数中，不相等的一组是（ ）
A．（﹣2）3和﹣23 B．（﹣2）2和﹣22
3 3 3 3
C．|﹣2| 和 2 D．2 和− − 2
3．（4 分）泰勒斯是古希腊时期的思想家、科学家、哲学家，他曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的
高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（ ）
A．图形的相似 B．图形的平移
C．图形的旋转 D．图形的翻折
→ → → → →
4．（4 分）已知�、�、�都是非零向量，下列条件中不能判定� ∥ �的是（ ）
→ → → → → → → → → → → →
A．� ∥ �，� ∥ � B．� = 3� C．|�| = |�| D．� = 3�，� =− 2�
2
5．（4 分）如果锐角 A 的余弦值为 ，下列关于锐角 A 的取值范围的说法中，正确的是（ ）
3
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45°
C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
6．（4 分）如果一次函数 y1＝mx﹣6（m≠0）、y2＝nx﹣2（n≠0）的图象都经过 C（1，﹣3），那么函数 y
＝y1•y2的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） : .
1
7．（4 分）函数 y= 的定义域是 ．
�−1
8．（4 分）计算：（﹣a2）3÷a2＝ ．
�
9．（4 分）如果 2x＝3y，那么 的值是 ．
�
10．（4 分）把一个三角形放大为与它相似的三角形，如果它的面积扩大为原来的 9 倍，那么它的周长扩大
为原来的 倍．
11．（4 分）抛物线 y＝（a+1）x2﹣x 在对称轴左侧的部分是上升的，那么 a 的取值范围是 ．
12．（4 分）已知一坡面的坡度� = 1： 3，那么这个坡角等于 °．
𝐴 1 → → → →
13．（4 分）如图，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，且 = ，DE∥BC．设𝐴 = �，𝐸 = �，那么用向量
𝐴 2
→ → →
�、�表示向量𝐸为 ．
14．（4 分）我们把常用的 A4 纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”．如图，
一张规格为 A4 的矩形纸片 ABCD，将其长边对折（EF 为折痕），得到两个全等的 A5 矩形纸片，且 A4、
A5 这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为 ．
15 ．（ 4 分 ） 如 图 ， 已 知 △ ABC 的 三 个 顶 点 均 在 小 正 方 形 的 方 格 顶 点 上 ， 那 么 sinC 的 值
是 ．
16．（4 分）在两条直角边长分别是 20 和 15 的直角三角形的内部作矩形 ABCD，如果 AB、AD 分别在两条
直角边上（如图所示），AD：AB＝1：2，那么矩形 ABCD 的面积是 ．
17．（4 分）如图，点 O 在四边形 ABCD 的内部，∠COD＝∠ABC＝90°，AB＝BC，OD＝OC，如果 BO : .
＝a，那么 AD 的长为 ．（用含字母 a 的式子表示）
1
18．（4 分）如图，在△ABC 中，BD 是△ABC 的中线，BC＝2BD，AC＝6 5，���� = 2，那么 AB 的长
为 ．
三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）
2 1 𝑐�45° −1
19．（10 分）计算：��� 30° − 2−���60° − (𝑐�30°) ．
20．（10 分）二次函数 y＝ax2+bx+c 的部分图象如图所示，已知它与 x 轴的一个交点坐标是（6，0），且对
称轴是直线 x＝2．
（1）填空：
①a 与 b 的数量关系为：b＝ ；
②图象与 x 轴的另一个交点坐标为 ．
（2）如果该函数图象经过点（0，﹣3），求它的顶点坐标．
�� ��
21．（10 分）如图，在 Rt△ABC 与 Rt△DEF 中，∠C＝∠F＝90°， = ．求证：△DEF∽△ABC．
�� 𝐸
以下是小明同学证明本题的过程：
证明：如图，在 AC、BC 上分别截取 CG＝FD，CH＝FE，联结 GH． : .
（1）有同学认为小明的证明过程不正确，那么你认为他是从第 部分开始出现问题（填①或
②或③或④）．请简述小明出错的原因；
（2）小红认为：本题可以用添加辅助线——平行线，构造熟悉的基本图形解决．
请你用小红的思路完成本题的证明过程．
22．（10 分）舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于
各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩 AB、CD、
EF 垂直于地面，且 B、D、F 在一直线上（如图②所示）．如果在桩顶 C 处测得桩顶 A 和桩顶 E 的仰
角分别为35°和47°，且AB桩与EF桩的高度差为1米，两桩的距离BF 为2米．（sin35°≈，cos35°
≈，tan35°≈，sin47°≈，cos47°≈，tan47°≈）
（1）舞狮人从 A 跳跃到 C，随后再跳跃至 E，所成的角∠ACE＝ °；
（2）求桩 AB 与桩 CD 的距离 BD 的长．（结果精确到 米） : .
23．（12 分）已知：如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，联结 AC、BD，△ABC 是等边三角形，DE∥BC，
DE 与 AC 交于点 E，∠ADB＝2∠DBC．
（1）求证：△ADE∽△DBC；
（2）求证：点 E 是线段 AC 的黄金分割点．
24．（12 分）已知抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）上，其 y 与 x 部分对应值如表：
x … ﹣3 ﹣1 0 2 3 …
y … ﹣8 0 2 2 0 …
（1）求此抛物线的表达式；
（2）设此抛物线的顶点为 P，将此抛物线沿着平行于 x 轴的直线 l 翻折，翻折后得新抛物线．
①设此抛物线与 x 轴的交点为 A、B（点 A 在点 B 的左侧），且△ABP 的重心 G 恰好落在直线 l 上，求
此时新抛物线的表达式；
②如果新抛物线恰好经过原点，求新抛物线在直线 l 上所截得的线段长．
25．（14 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝8，D 是 BC 中点，E 在 BA 延长线上，F 在 AC 边上
（F 不与点 A、C 重合），∠EDF＝∠B．
（1）求证：△BDE∽△CFD；
（2）求证：ED 平分∠BEF；
（3）设 CF＝x，EF＝y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域；
（4）联结 AD、CE，如果四边形 ADCE 有两个内角互补，求 CF 的长． : .
一．选择题（共 6 小题）
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D． B A C C B
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，
选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1．【答案】D．
【解答】解：A．3mn，是单项式；
1
B． ，是单项式；
2�
C．0，是单项式；
�+�
D． ，是多项式．
2
故选：D．
2．【答案】B
【解答】解：（﹣2）3＝﹣23＝﹣8，则 A 不符合题意；
（﹣2）2＝4，﹣22＝﹣4，则 B 符合题意；
|﹣2|3＝23＝8，则 C 不符合题意；
3 3
2=− − 2 ，则 D 不符合题意；
故选：B．
3．【答案】A
【解答】解：这种测量原理，就是我们所学的图形的相似，
故选：A．
4．【答案】C
→ →
【解答】解：选项 C 中，�与�的模相等，但方向不一定相同，
→ →
故不能判定� ∥ �，符合题意，
→ →
选项 A、B、D 中能判定� ∥ �，
故选：C．
5．【答案】C : .
3 2 2 2 1 2 2
【解答】解：∵cos30°= ＞ ，cos45°= ＞ ，cos60°= ＜ ，cosA= ，
2 3 2 3 2 3 3
∴45°＜∠A＜60°．
故选：C．
6．【答案】B
【解答】解：∵一次函数 y1＝mx﹣6（m≠0）、y2＝nx﹣2（n≠0）的图象都经过 C（1，﹣3），
∴m﹣6＝﹣3，n﹣2＝﹣3，
∴m＝3，n＝﹣1，
∴y1＝3x﹣6，y2＝﹣x﹣2，
∴函数 y＝y1•y2＝（3x﹣6）（﹣x﹣2）＝﹣3x2+12．该抛物线对称轴为 y 轴，顶点坐标（0，12），开口
向下，只有选项 B 符合条件．
故选：B．
二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
7．【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意得，x﹣1≠0，
解得 x≠1．
故答案为：x≠1．
8．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（﹣a2）3÷a2＝﹣a6÷a2＝﹣a4．
故答案为：﹣a4．
3
9．【答案】 ．
2
【解答】解：∵2x＝3y，
� 3
∴ = ．
� 2
3
故答案为： ．
2
10．【答案】3．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为 1：9，
∴这两个相似三角形的相似比为 1：3，
∴这两个相似三角形的周长比为 1：3，
∴周长扩大为原来的 3 倍， : .
故答案为：3．
11．【答案】a＜﹣1
【解答】解：∵抛物线 y＝（a+1）x2﹣x 在对称轴左侧的部分是上升的，
∴抛物线开口向下，
∴a+1＜0，解得 a＜﹣1．
故答案为：a＜﹣1．
12．【答案】30．
【解答】解：设坡角为α，
∵斜坡的坡度 i＝1： 3，
1 3
∴tanα= = 3 ，
3
∴α＝30°，
故答案为：30．
3 → →
13．【答案】 � − 3�．
2
𝐴 1
【解答】解：∵DE∥BC， = ，
𝐴 2
�� 1 �� 1
∴ = ， = ，
�� 2 𝐸 3
→ 1 → 1 →
∴�� = 2 𝐸= 2 �，
→ → → 1 → →
∴�� = ��− 𝐴= 2 �− �，
→ → 3 → →
∴𝐸 = 3�� = �− 3�，
2
3 → →
故答案为： � − 3�．
2
2
14．【答案】 ．
2
【解答】解：设原来矩形的长为 x，宽为 y，
1
则对折后的矩形的长为 y，宽为 x，
2
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
1
∴x：y＝y： x，
2
2
解得 y：x＝1： 2 = 2 ， : .
2
∴这个“白银比”为 ．
2
2
故答案为： ．
2
9 1