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[第19讲 函数与方程思想、数形结合思想]
(时间：5分钟＋40分钟)
基础演练
1．若复数z满足(1＋i)z＝1＋2i(其中i是虚数单位)，则复数z对应的点位于复平面的( )
A．第一象限 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
2．方程sin＝x的实数解的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．以上均不对
3．若x∈，则有( )
A．x2>x>1 B．x2>1>x
C．1>x2>x D．x>1>x2
4．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)上的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2011，且an＋2an＋1＋an＋2＝0(n∈N*)，则S2022＝________.
提升训练
6．与向量a＝ ，b＝的夹角相等，且模为1的向量是( )
A．
B．或
C．
D．或
7．已知函数f(x)＝|log2|x||－，则下列结论正确的是( )
A．f(x)有三个零点，且全部零点之积大于－1
B．f(x)有三个零点，且全部零点之积小于－1
C．f(x)有四个零点，且全部零点之积大于1
D．f(x)有四个零点，且全部零点之积小于1
8．已知f(x)为R上的可导函数，且对任意x∈R，均有f(x)>f′(x)，则以下推断正确的是( )
A．f(2021)>e2021f(0)
B．f(2021)<e2021f(0)
C．f(2021)＝e2021f(0)
D．f(2021)与e2021f(0)的大小无法确定
9．对任意的实数x，y，定义运算：xy＝ 设a＝，b＝，c＝，则bac的值是( )
A．a B．b C．c D．不确定
10．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________.
11．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)＋，则f(x)的值域是________.
12．已知实数x，y满足z＝|2x－2y－1|，则z的取值范围是__________.
13．设f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)＞a恒成立，求a的取值范围.
14．过点(3，0)的直线l与圆x2＋y2＝3相交于P，Q两点，且OP⊥OQ(其中O为原点)，求直线l的方程.
15．已知函数f(x)＝ex－kx2，x∈R.
(1)若k＝，求证：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＞1；
(2)若f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，试求k的取值范围.
专题限时集训(十九)
【基础演练】
1．A [解析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则有(1＋i)(a＋bi)＝(a－b)＋(a＋b)i＝1＋2i，所以有解得a＝，b＝，所以z＝＋i，复数z对应的点位于复平面的第一象限．
2．B [解析] 在同一坐标系内作出y＝sin与y＝x的图像，如图所示，可知它们有3个不同的交点．
3．A [解析] 设y1＝log2x，y2＝2－x，在同一坐标系中作出其图像，如图所示，由图知，交点的横坐标x>1，则有x2>x＞1.
4．B [解析] 明显f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)上单调递增，f(0)f(2)＝－10<0，故只有一个零点．
5．0 [解析] 设等比数列{an}的公比为q，则由已知得
a1qn－1＋2a1qn＋a1qn＋1＝0，即a1qn－1(1＋2q＋q2)＝0.
由于a1qn－1≠0，所以1＋2q＋q2＝0，解得q＝－1，
所以S2022＝＝0.
【提升训练】
6．B [解析] 设所求向量m＝(x，y)，由题意得|a|＝|b|，|m|＝1，
＝，即有3x＋4y＝0且x2＋y2＝1，解得 或
7．A [解析] 在同一坐标系中分别作出f1(x)＝|log2|x||与f2(x)＝的图像，如图所示．由图像知f1(x)与f2(x)有三个交点，即函数f(x)有三个零点．设三个零点从左到右分别是x1，x2，x3，f<0，由于f>0，所以－<x1<－.同理，<x2<1，1<x3<2，则－1<x1x2x3<－，即全部零点之积大于－1.
8．B [解析] 构造函数g(x)＝，则g′(x)＝<0，所以函数g(x)在R上单调递减，所以g(0)>g(2021)，即>，即f(2021)<e2021f(0)．
9．A [解析] 设f(x)＝，则f′(x)＝，易知在区间(e，＋∞)上f′(x)<0恒成立，即函数f(x)在区间(e，＋∞)上单调递减．由于a＝f(4)，b＝f(9)，c＝f(25)，所以a>b>c，所以bac＝ac＝a.
10．a>1 [解析] 函数f(x)有两个零点，即方程ax＝x＋a有两个解，即函数y＝ax与函数y＝x＋a的图像有两个交点．作图分析易知当0<a<1时只有一个交点，当a>1时有两个交点．
11． [解析] f(x)＝(sin x＋cos x)＋＝ 结合三角函数的图像知当x＝π时，f(x)取得最小值－，当x＝时，f(x)取得最大值2，所以这个函数的值域是.
12．[0，5) [解析] 由x，y的约束条件作出可行域，如图中阴影区域所示．令u＝2x－2y－1，则y＝x－，先画出直线y＝x，再平移直线y＝x，易知当直线分别经过点A(2，－1)，B时，u取得最大值与最小值．又x＜2，所以－≤u<5，故z＝|u|∈[0，5)．
13．解： 由f(x)＞a在区间[－1，＋∞)上恒成立，
可知x2－2ax＋2－a＞0在区间[－1，＋∞)上恒成立，
即函数g(x)＝x2－2ax＋2－a的图像在区间[－1，＋∞)上位于x轴上方．
故Δ＜0或解得－2＜a＜1或－3＜a≤－2.
综上所述，a∈(－3，1)．
14．解： 设直线l的方程为x＋ay－3＝0(a≠0)，
点P(x1，y1)，Q(x2，y2)．联立
消去y，得(a2＋1)x2－6x＋9－3a2＝0，∴x1x2＝.①
由方程组消去x，得(a2＋1)y2－6ay＋6＝0，∴y1y2＝. ②
依题意知OP⊥OQ，∴＝－1，即y1y2＋x1x2＝0.
由①②知，＋＝0，解得a＝±.
∴所求直线l的方程为x＋y－3＝0或x－y－3＝0.
15．解： (1)证明：f(x)＝ex－x2，则h(x)＝f′(x)＝ex－x，∴h′(x)＝ex－1＞0(x＞0)，∴h(x)＝f′(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，∴f′(x)＞f′(0)＝1＞0，∴f(x)＝ex－x2在区间(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)＞f(0)＝1.
(2)f′(x)＝ex－2kx
若k≤0，明显f′(x)＞0，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
记φ(x)＝ex－2kx，则φ′(x)＝ex－2k.
当0＜k＜时，∵ex＞e0＝1，2k＜1，∴φ′(x)＞0，∴φ(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
∴f′(x)＝φ(x)＞φ(0)＝1＞0，∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
当k≥时，φ(x)＝ex－2kx在区间(0，ln 2k)上单调递减，在区间(ln 2k，＋∞)上单调递增，
f′(x)＝φ(x)≥φ(ln 2k)＝eln 2k－2kln 2k，
由eln 2k－2kln 2k≥0，得2k－2kln 2k≥0，解得≤k≤.
综上，k的取值范围为.