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【师说】2015-2016学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系质量评估检测 新人教A版必修2
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列说法不正确的是( )
A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形
B．同一平面的两条垂线一定共面
C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内
D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
解析：如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面DCC1D1，因此平面ABCD、平面AA1D1D均与平面DCC1D1垂直而且平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，显然选项D不正确，故选D.
答案：D
，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
解析：因为a∥α，a⊂β，α∩β＝b，
所以a∥，所以α内与b相交的直线与a异面．
答案：C
，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：
连接EG，B1G，B1F，
则：A1E∥B1G，
故∠B1GF为异面直线A1E与GF所成的角．
由AA1＝AB＝2，AD＝1可得B1G＝，GF＝，B1F＝，
∴B1F2＝B1G2＋GF2，∴∠B1GF＝90°，即异面直线A1E与GF所成的角为90°.
答案：D
2
，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )
① ②
③ ④
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
解析：
如图所示：平面ABC∥平面MNP，
所以AB∥平面MNP，
故①正确．
④中易证NP∥AB，故AB∥平面MNP.②③不正确．
答案：B
，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
解析：
如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面BCC1B1⊥平面ABCD，BC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面ABCD，而BC1不垂直于BC，故A错误．
平面A1B1C1D1∥平面ABCD，B1D1⊂平面A1B1C1D1，AC⊂平面ABCD，但B1D1和AC不平行，故B错误．
AB⊥A1D1，AB⊂平面ABCD，A1D1⊂平面A1B1C1D1，但平面A1B1C1D1∥平面ABCD，故C错误．故选D.
答案：D
6．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有且只有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：如图，和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC＝∠ACB＝30°，直线AC，AB都满足条件，故选B.
答案：B
3
－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面积是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为( )
A. B.
C. D.
解析：取正三角形ABC的中心O，连结OP，则∠PAO是PA与平面ABC所成的角．
因为底面边长为，所以AD＝×＝，AO＝AD＝×＝×()2×AA1＝，解得AA1＝，即OP＝AA1＝，所以tan∠PAO＝＝，即∠PAO＝.
答案：B
8．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：由题意知三棱锥A1－ABC为正四面体，设棱长为a，则AB1＝a，棱柱的高A1O＝＝＝a(即点B1到底面ABC的距离)，故AB1与底面ABC所成角的正弦值为＝，故选B.
答案：B
9．在四面体A－BCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角A－CD－B的平面角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：取AC的中点E，CD的中点F，连接EF，BF，BE，∵AC＝，其余各棱长都为1，∴AD⊥CD，∴EF⊥CD.
又∵BF⊥CD，
∴∠BFE是二面角A－CD－B的平面角．
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∵EF＝，BE＝，BF＝，
∴EF2＋BE2＝BF2.∴∠BEF＝90°，∴cos∠BFE＝＝，故选C.
答案：C
－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )
A. B.
C. D.
解析：如图，设AB＝a，则AA1＝2a，三棱锥C－BDC1的高为h，CD与平面BDC1所成的角为α.
因为VC－BDC1＝VC1－BDC，即××a×ah＝×a2×2a，解得h＝＝＝.
答案：A
11．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是( )
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
解析：易知：△BCD中，∠DBC＝45°，∴∠BDC＝90°，
又平面ABD⊥平面BCD，而CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD，∴AB⊥CD，
而AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD.
答案：D
12．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取线段AB＝4，AC、BD分别在平面α和平面β内，且AC⊥AB，DB ⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD的长度为( )
A．13 B.
C．12 D．15
解析：
如图，连接AD.
∵α⊥β，∴AC⊥β，DB⊥α，
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在Rt△ABD中，
AD＝＝＝.
在Rt△CAD中，CD＝＝＝13.
答案：A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P是平面AA1D1D的中心，点Q是B1D1上一点，且PQ∥平面AB1D，则线段PQ长为________．
解析：连接AB1，AD1，
因为点P是平面AA1D1D的中心，
所以点P是AD1的中点，
因为PQ∥平面AB1，PQ⊂平面AB1D1，平面AB1D1∩平面AB1＝AB1，
所以PQ∥AB1，所以PQ＝AB1＝.
答案：
14．在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．
解析：由直四棱柱可知CC1⊥面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1，要使B1D1⊥A1C，只要B1D1⊥平面A1CC1，所以只要B1D1⊥A1C1，还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形，正方形等条件．
答案：B1D1⊥A1C1(答案不唯一)
，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1上的距离的最小值为________．
解析：如图，过点E作EE1⊥平面A1B1C1D1，交直线B1C1于点E1，
连接D1E1，DE，在平面D1DEE1内过点P作PH∥EE1交D1E1于点H，连接C1H，则C1H即为点P到直线CC1的距离．当点P在线段D1E上运动时，点P到直线CC1的距离的最小值为点C1到线段D1E1的距离，即为△C1D1E1的边D1E1上的高h.
∵C1D1＝2，C1E1＝1，∴D1E1＝，∴h＝＝.
答案：
16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下三个结论．
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD成60°的角；
说法正确的命题序号是________．
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解析：
如图所示，①取BD中点E，连接AE，CE，则BD⊥AE，BD⊥CE，而AE∩CE＝E，∴BD⊥平面AEC，AC⊂平面AEC，故AC⊥BD，故①正确．
②设正方形的边长为a，
则AE＝CE＝a.
由①知∠AEC＝90°是直二面角A－BD－C的平面角，且∠AEC＝90°，∴AC＝a，
∴△ACD是等边三角形，故②正确．
③由题意及①知，AE⊥平面BCD，故∠ABE是AB与平面BCD所成的角，而∠ABE＝45°，所以③不正确．
答案：①②
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)如图，正四棱锥S－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱长是底面边长的倍，O为底面对角线的交点，P为侧棱SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)F为SD中点，若SD⊥平面PAC，求证：BF∥平面PAC.
证明：(1)连接SO，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD且O为AC中点，
又∵SA＝SC，
∴SO⊥AC，
又∵SO∩BD＝O，
∴AC⊥平面SBD，
又∵SD⊂平面SBD，
∴AC⊥SD.
(2)连接OP，
∵SD⊥平面ACP，OP⊂平面ACP，
∴OP⊥SD，
又△SBD中，BD＝a＝SB，且F为SD中点，
∴BF⊥SD，
因为OP、BF⊂平面BDF，所以OP∥BF，
又∵OP⊂平面ACP，BF⊄平面PAC，
∴BF∥平面PAC.
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18．(本小题满分12分)如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．
求证：(1)平面EFG∥平面ABC.
(2)BC⊥SA.
证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．
又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.
因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
同理EG∥平面ABC.
又因为EF∩EG＝E，
所以平面EFG∥平面ABC.
(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又因为AF⊂平面SAB，AF⊥SB，
所以AF⊥平面SBC，因为BC⊂平面SBC，
所以AF⊥BC.
又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF⊂平面SAB，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.
又因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.
19．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.
(1)证明：BD⊥平面PAC；
(2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值．
解析：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD
∵PC⊥平面BDE，
∴PC⊥BD.
∴BD⊥平面PAC.
(2)设AC与BD交点为O，连接OE.
∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥OE.
又∵BO⊥平面PAC，
∴PC⊥BO，
∴PC⊥平面BOE，∴PC⊥BE，
∴∠BEO为二面角B－PC－A的平面角．
∵BD⊥平面PAC，
∴BD⊥AC，
∴四边形ABCD为正方形，
∴BO＝.
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在△PAC中，＝⇒＝⇒OE＝，
∴tan∠BEO＝＝3，
∴二面角B－PC－A的平面角的正切值为3.
20．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)若AB＝CB＝2，A1C＝，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．
解析：(1)取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.
因为CA＝CB，所以OC⊥AB.
由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，
所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥面OA1C.
又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.
(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC＝OA1＝，又A1C＝，则A1C2＝OC2＋OA，故OA1⊥OC.
因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．
又S△ABC＝AB·OC＝，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝×＝3.
21．(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA1＝3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．
(1)证明：AD⊥C1E；
(2)当异面直线AC，C1E所成的角为60°时，求三棱锥C1－A1B1E的体积．
解析：(1)证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC，①
又在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，
而AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1，②
由①②可得AD⊥平面BB1C1C，因为点E在棱BB1上运动．
得C1E⊂平面BB1C1C，所以AD⊥C1E.
(2)因为AC∥A1C1，所以∠A1C1E是异面直线AC与C1E所成的角，所以∠A1C1E＝60°，因为∠B1A1C1＝∠BAC＝90°，所以A1C1⊥A1B1，
又AA1⊥A1C1，从而A1C1⊥平面A1ABB1，于是A1C1⊥A1E，
故C1E＝＝2，又B1C1＝2，所以B1E＝2，
从而VC1－A1B1E＝S△A1B1E×A1C1＝××2××＝.
22．(本小题满分12分)如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥
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AB，AB＝，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面FB1C1E与直线AA1的交点．
(1)证明：①EF∥A1D1；
②BA1⊥平面B1C1EF.
(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．
解析：(1)证明：①由AD∥BC，BC∥B1C1可得AD∥B1C1，
又B1C1⊄平面AA1D1D，AD⊂平面AA1D1D，
∴B1C1∥平面AA1D1D，
又平面B1C1E∩平面AA1D1D＝EF，
∴B1C1∥EF，又A1D1∥B1C1，∴EF∥A1D1.
②在Rt△FA1B1和Rt△A1B1B中，＝＝，
∴Rt△FA1B1∽Rt△A1B1B，
∴∠A1FB1＝∠BA1B1，
∵∠A1FB1＋∠A1B1F＝90°，
∴∠BA1B1＋∠A1B1F＝90°，
∴A1B⊥B1F，
由AD⊥AB可得B1C1⊥A1B1，
又B1C1⊥BB1，
∴B1C1⊥平面A1B1B，
又A1B⊂平面A1B1B，可得BA1⊥B1C1，
又BA1⊥B1F，且B1F∩B1C1＝B1，
∴BA1⊥平面B1C1EF.
(2)设A1B∩B1F＝O，连接C1O，
由(1)可知BC1与平面B1C1EF所成的角为∠BC1O，
在Rt△A1B1B中，BB＝BO·BA1，
即22＝BO·，解得BO＝，
∴sin∠BC1O＝＝＝，
∴BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值为.