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第4章
一、选择题(每小题3分，共24分)
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列等式中正确的是( D )
A．cos A＝ B．sin B＝ C．tan B＝ D．以上都不正确
2．如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则sin∠AOB的值是( D )
A. B.
C. D.
3．下列等式成立的是( C )
A．sin 45°＋cos 45°＝1 B．2tan 30°＝tan 60°
C．2 sin 30°＝ tan 45° D. sin230°＝cos 60°
4．如图，王师傅在楼顶上A点处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°，若水平距离BD＝10 m，楼高AB＝24 m，则树CD的高约为( C )
A．5 m B．6 m
C．7 m D．8 m
5．(2014·巴中)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B的值为( D )
A. B. C. D.
6．如图，∠AOB的顶点在坐标原点，边OB与x轴正半轴重合，边OA落在第一象限，P为OA上一点，OP＝m，∠AOB＝β，则点P的坐标为( D )
A．(m＋tan β，) B．(msin β，mcos β) C．(，mtan β) D．(mcos β，msin β)
第6题图
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第7题图
第8题图
7．某舰艇以28海里/小时的速度向东航行，在A处测得灯塔M在北偏东60°方向，半小时后到达B处，又测得灯塔M在北偏东45°方向，此时灯塔与舰艇的距离MB是( C )
A．7(＋1)海里 B．14海里 C．7(＋)海里 D．14海里
8．(2014·安顺)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E为AB上一点，且AE∶EB＝4∶1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于( C )
A. B. C. D．5
二、填空题(每小题3分，共24分)
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos B＝，则a∶b＝__2∶__．
10．在△ABC中，若∠A、∠B满足＋＝0，则∠C＝__75°__．
11．一个小球由地面沿着坡度i＝1∶，此时小球距离地面的高度为____米(结果保留根号)．
12．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，BC＝1＋，则∠ACB的度数为__45°__．
第12题图
第13题图
第14题图
第15题图
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13．学校校园内有块如图所示的三角形空地，计划将这块空地建成一个花园以美化环境，预计花园每平方米的造价为30元，则学校建这个花园至少需要投资__6_750__元．
14．某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB的高度为__9__米．
15．如图，正方形ABCD的边长为2，过点A作AE⊥AC，AE＝1，连接BE，则tan E＝____．
16．在△ABC中，已知AC＝1，AB与BC所在直线所成的角中锐角为45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为(即cos C＝)，则BC边的长是__或__．
三、解答题(共72分)
17．(8分)计算：
(1)cos245°＋tan 30°·sin 60°； (2)4sin 30°－cos 45°＋tan 60°；
解：原式＝1; 解：原式＝1＋3；
(3)＋2cos230°； (4)－＋tan 45°.
解：原式＝； 解：原式＝＋.
18．(6分)(2014·宁夏)在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sinB＝，AD＝．
解：在Rt△ABD中，∵sin B＝＝，又∵AD＝1，∴AB＝3.∵BD2＝AB2－AD2，∴BD＝＝△ADC中，∵∠C＝45°，∴CD＝AD＝1.∴BC＝BD＋DC＝2＋1.
19．(7分)如图，已知四边形ABCD为矩形，AB＝4，BC＝6，M为BC的中点，DE⊥AM于点E，求∠ADE的正切值．
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解：易知△ABM∽△DEA，∴＝，又AB＝4 cm，BM＝3 cm，∴tan∠ADE＝＝＝.
20．(7分)(2014·三明)如图，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是20°，小明种植的两棵树间的坡面距离AB是6米，～，问小明种植的这两棵树是否符合这个要求？(参考数据：sin 20°≈，cos 20°≈，tan 20°≈)
解：Rt△ACB中，AB＝6米，∠A＝20°，∴AC＝AB·cos∠A≈6×＝．∵～，∴小明种植的这两棵树符合要求．
21．(8分)一副三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12 ，试求CD的长．
解：作BM⊥DF于点M，BM＝BC·sin45°＝12，∴CM＝BM＝12，DM＝＝4，∴CD＝CM－DM＝12－4.
22．(8分)(2014·淮安)为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度．如图，在地面上选取一点C，测得∠ACB＝45°，AC＝24 m，∠BAC＝°，求这棵古杉树AB的长度．(结果取整数)
(参考数据：≈，sin °≈，cos °≈，tan °≈)
解：过B点作BD⊥AC于D.∵∠ACB＝45°，∠BAC＝°.∴在Rt△ADB中，AD＝.在Rt△CDB中，CD＝BD，∵AC＝AD＋CD＝24 m，∴＋BD＝24，解得BD≈17 m．又∵sin∠BAC＝，∴AB＝≈18 m．故这棵古杉树AB的长度大约为18 m.
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23．(9分)(2014·北海)如图是某超市地下停车场入口的设计图，请根据图中数据计算CE的长度．(结果保留小数点后两位；参考数据：sin 22°≈，cos 22°≈，tan 22°≈)
解：由已知有：∠BAE＝22°，∠ABC＝90°，∠CED＝∠AEC＝90°，∴∠BCE＝158°，∴∠DCE＝22°，又∵tan∠BAE＝，∴BD＝AB·tan∠BAE，又∵cos∠BAE＝cos∠DCE＝，∴CE＝CD·cos∠BAE＝(BD－BC)·cos∠BAE＝( AB·tan∠BAE－BC)·cos∠BAE＝(10× 0－)× 2≈(m)． m.
24．(9分)(2014·南充)马航MH370失联后，我国政府积极参与搜救．某日，我两艘专业救助船A，B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，°方向上，在救助船B的西北方向上，船B在船A正东方向140海里处．(参考数据：sin °≈，cos °≈，tan °≈)
(1)求可疑漂浮物P到A，B两船所在直线的距离；
(2)若救助船A、救助船B分别以40海里/时、30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处．
解：(1)过点P作PE⊥AB于点E，由题意得，∠PAE＝°，∠PBA＝45，设PE为x海里，则BE＝PE＝x海里，∵AB＝140海里，∴AE＝(140－x)海里，在Rt△PAE中，＝tan∠PAE，即＝，解得：x＝60海里，∴可疑漂浮物P到A，B两船所在直线的距离为60海里；(2)在Rt△PBE中，PE＝60海里，∠PBE＝45°，则BP＝PE＝60≈，B船到达P处需要的时间为：≈．在Rt△PAE中，＝sin∠PAE，∴AP＝PE÷sin∠PAE＝60÷＝100海里，∴A船到达P处需要的时间为：100÷40＝．∵＞，∴A船先到达P处．
25．(10分)(2014·抚州)如图①所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图②，晾衣架伸缩时，点G在射线DP上滑动，∠CED的大小也随之发生变化，已知每个菱形边长均等于20 cm，且AH＝DE＝EG＝20 cm.
(1)当∠CED＝60°时，求C，D两点间的距离；
(2)当∠CED由60°变为120°时，点A向左移动了多少cm？( cm)
(3)设DG＝x cm，当∠CED的变化范围为60°～120°(包括端点值)时，求x的取值范围．( cm)(参考数据≈，可使用科学计算器)
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解：(1)连接CD.∵CE＝DE，∠CED＝60°，∴△CED是等边三角形，∴CD＝DE＝20 cm；(2)根据题意得：AB＝BC＝CD，当∠CED＝60°时，AD＝3CD＝60 cm，当∠CED＝120°时，过点E作EH⊥CD于H，则∠CEH＝60°，CH＝△CHE中，sin∠CEH＝，∴CH＝20·sin60°＝20×＝10(cm)，∴CD＝20 cm，∴AD＝3×20＝60≈(cm)，－60＝ cm；(3)当∠CED＝120°时，∠DEG＝60°，∵DE＝EG，∴△DEG是等边三角形，∴DG＝DE＝20 cm，当∠CED＝60°时，则有∠DEG＝120°，过点E作EI⊥DG于点I，∵DE＝EG，∴∠DEI＝∠GEI＝60°，DI＝IG，在直角△DIE中，sin∠DEI＝，∴DI＝DE·sin∠DEI＝20×sin 60°＝20×＝10cm.∴DG＝2DI＝20≈ cm≤x≤ cm.