文档介绍：§2 数学归纳法与数列的极限
一、基础知识点
1. 推理与证明
推理方法有:合情推理与演绎推理.
合情推理有:类比,不完全归纳,猜想等.
演绎推理:严格的逻辑证明.
2. 数学归纳法:是证明有关自然数的命题的一种方法,属于完全归纳法,其证明步骤如下:
第一步:验证当n取第一个允许值时命题成立;
第二步:假设当时命题成立(归纳假设),证明当时命题也成立.
完成以上两步,就能断言:对一切,命题都成立.
3. 归纳猜想问题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形,或是给出与图形有关的操作、变化过程,要求通过观察、分析、推理,探求其中所蕴涵的规律,进而归纳或猜想出一般性的结论,在解答过程中需要经历观察、归纳、猜想、试验、证明等数学活动,以加深学生对相关数学知识的理解
(1)学会探索与发现的规律方法:
演绎——从一般到一般(结论一定正确);
类比——从特殊到特殊(结论不一定正确);
归纳——从特殊到一般(结论不一定正确).
(2)归纳猜想得到的结论不一定正确,必须经过严格的逻辑证明,而与自然数有关的结论的证明,常用数学归纳法.
4. 数学归纳法证明过程中的两个步骤缺一不可. 第一步是归纳的基础,这是一个成立的实事;第二步是证明的关键,在归纳假设的前提下完成证明. 如果不用归纳假设而完成了证明过程,那不叫数学归纳法证明.
多米诺骨牌.
5. 数学归纳法的原理:
(1);
(2);
(3)
6. 归纳猜想证明的一般步骤:
①计算命题取特殊值时的结论;
②对这些结果进行分析,探索数据的变化规律,并猜想命题的一般结论;
③证明所猜想的结论.
7. 数列极限
(1)定义:一般地,在n无限增大的变化过程中,如果无穷数列中的项无限趋近于一个常数A,那么A叫做数列的极限,或称作数列收敛于A,记作.
数列极限存在的条件:①无限数列;②当n趋向于无穷时,无限趋近于某一常数.
(2)数列极限的运算法则:
若,则
①; ②;
③; ④.
特别,若C为常数,则.
(3)三个常用的极限:
①(C为常数); ②;
③
(4) 无穷等比数列各项的和:
若无穷等比数列的公比,则其各项的和为.
8. 关于数列极限概念的理解:
①极限是一种变化趋势,并不一定有=A;
②“无穷大”的意思是要有多大就有多大;
③若,则.
9. 常见数列极限类型:
①、型:极限不存在;
②、、型:极限均为0;
③、、、型:极限不确定,有的存在,有的不存在.
④有理分式型:
二、基础自测
1. 一个关于自然数n的命题,如果验证当n=1时命题成立,并在假设当n=k(k≥1且k∈N*)时命题成立的基础上,证明了当n=k+2时命题成立,那么综合上述,对于( B )

2. 设平面内有k条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,设k条直线的交点个数为f(k),则f(k+1)与f(k)的关系是( C )
(k+1)=f(k)+k+1 (k+1)=f(k)+k-1
(k+1)=f(k)+k (k+1)=f(k)+k+2
解析:当n=k+1时,任取其中1条直线,记为l,则除l外的其他k条直线的交点的个数为f(k),因为已知任何两条直线不平行,所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点);又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k个交点两两不相同,且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同,从而平面内交点的个数是f(k)+k=f(k+1).
3. 已知某个关于自然数n的命题,如果当时该命题成立,那么可得当时命题也成立.
①写出当n=4时命题成立的所有充分条件: ;
②写出当n=4时命题成立的一个必要条件: ;
③现在已知当n=4时,该命题不成立,则下列说法正确的是:
=3时该命题不成立;
=5时该命题不成立;
=1时该命题可能成立;
=5时,该命题可能成立,如果n=5时命题成立,那么对于任意自然数,该命题都成立.
解:①是找到推出“n=4”成立的条件;②是找到由“n=4”能推出什么;③可用等价于逆否命题来判断:“”“”.
①n=1成立、n=2成立、n=3成立;
②n=5或n=6或n=7…
③A、D均正确
4. 已知数列{an}满足:a1=,且对任意正整数m、n,都有am+n=aman,若数列{an}的前n项和为Sn,则=( )
A. B. C.
【解析】 a1=,a2=×=,a3=×=,a4=
∴{an