文档介绍：第一章集合及其基数
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教学目的及基本要求:熟练掌握集合的各种运算,,熟悉上下极限集的并交表达式,掌握单调集列的极限集。
难点:上下极限集的并交表达式,单调集列的极限集。
课时:4课时.
近代实验函数论,,集合论的许多基本概念,.
要想把"集合"是什么说的很清楚,"点"和"直线一样",要说清楚什么是集合,"集合"这个概念对任何人来说,"事物",是的元素,我们就记作;不是的元素则记为.
设是某一与有关的条件,所有合于这个条件的事物作成一个集合,"数的平方等于",有时使用很方便,,则就是表示中所有使的值大于的所组成的集合.
现在我们假设有两个集合,如果它们所包含的元素一样,,,两个数所组成的集合,是由方程式的根所作成的集合,则.
对于集合和,如果属于的元素都属于,则说是的子集,或者说包含于, ,记作.
没有元素的集合称为空集,
.
,
若,,则.
在实变函数论中,.
设是二集合,如果将它们所共有的元素取出来作成一个新的集合,.
因此
.
例如.
从定义即知.
除了考虑两个集合的积以外,,
定义[对于每一个都有],[对于一切自然数都有]
两个集合的和或并,我们定义作将两个集合中的元素和在一起所作成的新集合,和的和记为①,和有时也称为并集(注意,在作和时,与所共有之元素,只算一次,比如)=[或],
[有,使],
[有自然数,使].
=.
.
根据和与积的定义,直接可以推出:
:
(1).
(2)
(3).
定理4.
(1)
(2)则;
(3)则;
(4)
(5);
[证明] 我们只证明(2)和(5).(2)的证明,设,则有,,,.
(5)的证明第一步:设,则,且有使,于是,从而更有,所以.
第二步:设,则有使,从而且,当然,所以,.
设是二集合,我们定义为所有在内而不在内的元素所作成的集合,即[而],显然,一般说来未见得等于.
如果,则定义为对于的余集,,就记为,简称为之余集.
定理5.
(1)
(2)
(3).
定理6.
若,则;
.
[证明] 以(3)的第二式为例.
第一步:设
,,从而,所以.
第二步:设,,所以,.
作业: 1 2 3 4
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教学目的及基本要求:
掌握一一映射、对等和集合势的概念。
能运用Bernstein定理确定某些集合的势
难点: Bernstein定理。
课时:2课时.
在抽象地研究集合时(即对于集合中的元素的性质不加考虑时),,当然是不同的两个集合,(苹果和书)的具体属性时,有一点总是共同的,即它们的元素个数是相同的,即都是由五个元素组成的,而一个由五个苹果组成的集合和一个由六个苹果组成的集合,虽然它们都是由苹果组成的,但在抽象地研究集合时,它们就没有这种共同点,可见在抽象地研究集合时元素的多少这是一个极其值得重视的属性.
对于有限多个元素组成的集合,表示元素的多少的自然就是元素集的个数,空集的元素的个数是零,而任意一个不空的有限集合的元素的个数则一定是一个正整数,为了求得一个有限集合的元素的个数,我们只要一个个地去数它的元素就可以了,数到最后那个数是多少,元素的个数就