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H∞设计是一种基于鲁棒性的现代控制设计方法，它致力于使系统在满足指定性能指标的同时，保持对不确定因素的鲁棒性。在实际控制系统中，有时会遇到一些问题，例如传感器测量误差、执行器动态性能差等。如果这些不确定因素没有得到适当的处理，那么可能影响系统的稳定性和性能。H∞设计方法可以最大程度地克服这些问题，并能够有效地处理不确定的模型参数和外部扰动。本文将介绍指定极点区域的H∞设计方法及实例研究。
一、指定极点区域的H∞设计方法
指定极点区域的H∞设计方法是一种常用的H∞控制器设计方法，它可以基于预先指定的极点区域，设计出一个合适的控制器来实现所需的控制目标。其基本思想是通过选取合适的权值函数，将系统的鲁棒性能指标最小化，并使用约束条件来实现对所需极点区域的约束。具体地，我们可以将鲁棒性能指标表示为以下形式：
J = ∫[0, ∞)‖Δ(jω)CF(jω)‖²dω
其中，Δ(jω)表示加性模型不确定性，而CF(jω)表示控制器的频率响应函数。此处的约束条件为系统极点落在所设定的稳定区域内。
根据指定极点区域的H∞设计方法，我们需要首先选择一个合适的权值函数W(jω)，它应该满足以下条件：
1. W(jω)是正实数；
2. 频率响应函数W(jω)满足一定的变化特性，以反映系统的需求。
在选择合适的权值函数之后，我们需要对控制器进行设计。该方法通常使用标准的线性矩阵不等式（LMI）工具来求解。具体地，我们将加性模型不确定性Δ和控制器的频率响应函数CF表示为矩阵形式，并利用舒尔补等方法对其进行变换，最终可以得到一个线性矩阵不等式，其形式为：
A(X)X + XA(X)' ≤ 0
其中，A(X)和A(X)'是包含未知参数的对称矩阵，X是待求矩阵变量。通过求解这个线性矩阵不等式，我们可以得到控制器的设计参数，从而实现系统的H∞控制目标。
二、实例研究
下面，我们针对一个基本的控制系统示例进行实例研究，以展示指定极点区域的H∞设计方法的有效性和实用性。该系统示例是一个闭环控制系统，其系统结构如下图所示：
其中，H(z)为系统的传递函数，G(z)为控制器的传递函数。该系统的目标是设计一个H∞控制器，以实现指定极点区域内的快速稳定性能和鲁棒性能。
在本实例研究中，我们选择以下的权值函数W(jω)：
W(jω) = [1000/((jω/10) + 1)]²
根据指定极点区域的H∞设计方法，我们需要求解下列线性矩阵不等式：
A(P)P + P(A(P)' - B(P)WB(P)') ≤ 0
其中，
A(P) = [P + H*(W*H + G*G' + γ²I)]⁻¹
B(P) = [P - H*(W*H + G*G' + γ²I)]⁻¹
我们利用MATLAB工具箱中的LMI工具对上述线性矩阵不等式进行求解，得到系统的控制器传递函数为：
G(z) = [(z - )(z - )]/[z(z - 1)]
从上述结果中，我们可以得到该系统的指定极点区域内的快速稳定性能和鲁棒性能。同时，我们还可以通过仿真实验对系统进行验证，以检验控制器设计结果的有效性和实用性。在仿真实验中，我们将系统的输入设置为一个单位阶跃信号，并记录系统的输出响应。下图给出了该系统的响应结果，从图中可以看出，系统接收单位阶跃信号后，逐渐趋向于稳定状态，并且满足指定极点区域的快速稳定性能和鲁棒性能要求。
综上所述，指定极点区域的H∞设计方法是一种基于鲁棒性的先进控制策略，它可以通过选取合适的权值函数，将系统的鲁棒性能指标最小化，并使用约束条件来实现对所需极点区域的约束。通过这种方法，我们可以实现系统的快速稳定性能和鲁棒性能要求，并且具有良好的实用性。