文档介绍：分析系统的稳定性并提出改善系统稳定的措施是自动控制理论的基本任务之一。
一、系统稳定的充分与必要条件
二、劳斯稳定判据
三、结构不稳定系统的改进措施
第三章时域分析法
第五节控制系统的稳定性分析
系统输出拉氏变换:
系统传递函数的一般表达式:
Ф(s)=
a0sn +a1sn-1 + …+an-1s+an
=
C(s)
R(s)
b0sm +b1sm-1 + …+bm-1s+bm
n≥m
(s)R(s)
a0sn +a1sn-1 + …+an-1s+an
=
C(s)=
1
b0sm +b1sm-1 + …+bm-1s+bm
Ф
۠
s
A0
=
s
s-s1
…
+
+
+
A1
An
s-sn
系统单位阶跃响应:
c(t)=A0+A1es1t+…+Anesnt
稳定的系统其瞬态分量应均为零。
即:
lim esit→0
t→∞
系统稳定的充分与必要条件:
系统所有特征根的实部小于零。
第五节控制系统的稳定性分析
二、劳斯稳定判据
根据稳定的充分与必要条件,求得特征方程的根,,经过代数运算来判别系统的稳定性。
设系统特征方程为:
s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0
劳斯表
s6
s5
s0
s1
s2
s3
s4
1
2
4
6
3
5
7
(6-4)/2=1
1
(10-6)/2=2
2
7
1
0
(6-14)/1= -8
-8
4
1 2
劳斯表介绍
劳斯表特点
4 每两行个数相等
3 次对角线减主对角线
5 分母总是上一行第一个元素
6 第一列出现零元素时,用正无
穷小量ε代替。
7 一行可同乘以或同除以某正数
ε
2
+8
ε
7
ε
-8(2 +8)-
ε
7
ε
2
7
ε
1
2
4
6
3
5
7
2 行列式第一列不动第二列右移
1 右移一位降两阶
1 2 7
-8
ε
劳斯判据
系统稳定的必要条件:
有正有负一定不稳定!
缺项一定不稳定!
系统稳定的充分条件:
劳斯表第一列元素不变号!
若变号系统不稳定!
变号的次数为特征根在s右半平面的个数!
特征方程各项系数
全>0或全<0
-s2-5s-6=0稳定吗?
有两个正实部根
该系统不稳定
劳斯表出现零行
设系统特征方程为:
s4+5s3+7s2+5s+6=0
劳斯表
s0
s1
s2
s3
s4
5
1
7
5
6
1
1
6
6
0
1 劳斯表何时会出现零行?
2 出现零行怎么办?
3 如何求对称的根?
②由零行的上一行构成
辅助方程:
①有大小相等符号相反的
特征根时会出现零行
s2+1=0
对其求导得零行系数: 2s1
1
1
继续计算劳斯表
1
第一列全大于零,所以系统稳定
错啦!!!
劳斯表出现零行系统一定不稳定
这是零行
2
由综合除法或比较系数法可得另两个根s3,4= -2,-3
解辅助方程得对称根:
s1,2=±j
例3-7 系统如图所示,试确定系统稳定放
大倍数K的取值范围。
K
s(+1)(+1)
_
R(s)
C(s)
解:
b41
特征方程:
s3+14s2+40s+40K=0
劳斯表:
1 40
s3
s2
s1
560-40K
s0
40K
14 40K
系统稳定的条件:
0<K<14
例3-8 已知系统的特征方程,试判断系
统的稳定性。
s3+2s2+s+2=0
例3-9 已知系统的特征方程,试用劳斯判据确定方程的根在s平面上的分布。
s3-3s+2=0
例3-10 已知系统的特征方程,试求所有的根。
s6 +2s5 +8s4+12s3+20s2+16s+16=0
三、结构性不稳定系统的改进措施
调整系统的参数无法使其稳定,则称这类系统为结构不稳定系统。
K
s2(Ts+1)
_
R(s)
C(s)
如:
Ф(s)=
Ts3+s2+K
K
闭环传递函数:
Ts3+s2+K
特征方程式是:
由于特征方程中少了s项,无论K取何值系统总是不稳定.

积分环节外加单位负反馈,系统结构图为:
开环传递函数变成:
K
s(Ts+1)
_
R(s)
1
s
_
C(s)
G(s)=
s(Ts+1)(s+1)
K
特征方程式:
Ts3+(1+T)s2+