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学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、选择题（共4题，总计0分）
1．已知变量x、y满足条件则x+y的最大值是
(C) (2008湖南理)
解析：
2．等差数列中，，则此数列前20项和等于（ ）
A．160 B．180 C．200 D．220（2004全国4理6）
解析：B
3．已知是三个相互平行的平面，平面之间的距离为，平面之前的距离为，“”是“”的( )
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件（2011江西理8）
解析：C
4．设，函数，则使 的的取值范围是
A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，loga3) D．(loga3，＋∞)
解析：C
评卷人
得分
二、填空题（共15题，总计0分）
5． 若方程lgx＝4－2x的根x0∈(k，k＋1)，其中k∈Z，则k的值为 ▲ ．
答案：1
解析： 1
6． 已知5×5数字方阵：中，
则= ．-1
解析：
7．运行如图的算法，则输出的结果是 __ ．
x←0
While x<20
x ← x+1
x ← x2
End  While
Print x
第4题图
解析：
8．过点M(p,0)任作一条直线交抛物线y2=2px(p＞0)于P、Q两点,则+的值为
A.              B.              C.              D.
【答案】
解析：D
【解析】不妨取PQ⊥x轴,则P(p,p),Q(p,-p),∴|MP|=p,|MQ|=p.[:]
∴+=.[:]
9．各项均为正数的等比数列中，．当取最小值时，数列的通项公式an= ▲ ．
解析：
10．函数的最小正周期是 ▲ ．
解析：
11．在矩形ABCD中，AB = 4，BC = 3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B - AC - D，则折后BD = ．
解析：
12．设函数，若函数的最大值是M，最小值是m，则__
解析：
13．设两个平面α，β，直线l，下列条件：①l⊥α，②l∥β，③α⊥β，若以其中两个为前提，
另一个为结论，则构成三个命题，这三个命题中正确的命题个数为________．
解析：①②⇒③是正确的，而由①③，除②外，还有结论l⊂β，由②③，l与平面α的
位置关系无法确定，故三个命题中正确的只有1个．
答案：1
解析：1
14．若直线与圆心为半径为的圆交于E,F两点，且则直线的方程为
解析：
15．
．一部书共6册，任意摆放到书架的同一层上，试计算：自左向右，第1册不在第1位置，第2册不在第2位置的概率为______________
解析：
16．在区间[0,1]上任取两个数a，b，则关于的方程有实数根的概率为 ▲ .
解析：
17．写出数列的一个通项公式，并验证2563是否为该数列中的一项．
答案：该数列的一个通项公式为，令，则，解得或（舍去）．是该数列的第50项．
解析：该数列的一个通项公式为，令，则
，解得或（舍去）．
是该数列的第50项．
18．函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是____________
解析：
19．=
答案：1；
解析：1；
评卷人
得分
三、解答题（共11题，总计0分）
20．（本题满分16分）
在正数数列中，Sn为的前n项和，若点在函数的图象上，其中c为正常数，且c≠1。
（I）求数列的通项公式；
（II）是否存在正整数M，使得当n＞M时，恒成立？若存在，求出使结论成立的c的取值范围和相应的M的最小值。
（III）若存在一个等差数列，对任意，都有
成立，求的通项公式及c的值。
解析：
21．记关于x的不等式（x﹣a）（x+1）≤0的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．
（1）若a=3，求集合P；
（2）若Q⊆P，求正数a的取值范围．（14分）
解析：
绝对值不等式的解法；一元二次不等式的解法．
专题：
不等式的解法及应用．
分析：
（1）当a=3时，不等式即（x﹣3）（x+1）≤0，求得此不等式的解集P．
（2）先求得Q={x|0≤x≤2}，经过检验，当a=﹣1，或a＜﹣1时，分别求得P，都不满足Q⊆P．当a＞﹣1时，求出P，由Q⊆P可得a≥2，即得所求a的范围．
解答：
解：（1）当a=3时，不等式即（x﹣3）（x+1）≤0，解得﹣1≤x≤3，故此不等式的解集P={x|﹣1≤x≤3}．
（2）解不不等式|x﹣1|≤1可得﹣1≤x﹣1≤1，即 0≤x≤2，故Q={x|0≤x≤2}．
由不等式（x﹣a）（x+1）≤0，可得当a=﹣1时，P=∅，不满足Q⊆P；
当a＜﹣1时，求得P={x|a≤x≤﹣1}，由Q={x|0≤x≤2}，可得不满足Q⊆P；
当a＞﹣1时，P={x|a≥x≥﹣1}，由Q⊆P，可得a≥2，故a的范围是[2，+∞）．
点评：
本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，集合间的包含关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
22．（本题满分15分）
已知直线l的方程为，且直线l与x轴交于点，圆 与x轴交于两点．
（1）过M点的直线交圆于两点，且圆孤恰为圆周的，求直线的方程；
（2）求以l为准线，中心在原点，且与圆O恰有两个公共点的椭圆方程；
（3）过M点作直线与圆相切于点,设（2）中椭圆的两个焦点分别为,求三角形面积．
P
解析：（1）为圆周的点到直线的距离为…………2分
设的方程为
的方程为 ………………………5分
（2）设椭圆方程为，半焦距为c，则
椭圆与圆O恰有两个不同的公共点，根据椭圆与圆的对称性
则或 ………………………6分
当时，所求椭圆方程为；……………8分
当时，
所求椭圆方程为 ………………………10分
A
B
O
M
P
Q
y
x
l
l1
l2
N
（3）设切点为N，则由题意得，在中，，则，
N点的坐标为，……………… 11分
若椭圆为其焦点F1,F2
分别为点A,B故，…13分
若椭圆为，其焦点为,
此时 ……………………14分
23．设抛物线的焦点为，准线为，，已知以为圆心，
为半径的圆交于两点.
（1）若，的面积为，求的值及圆的方程；
（2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值.
解析：
24．已知．
（1）求的值；
（2）求的值．（本题满分14分）
解析： 解：⑴由条件：得； ………6分
⑵因为，所以， ………8分
因为，所以， ………9分
又，所以， ………11分
所以．………14分
25．如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上.
（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；
（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大面积.
解析：本题主要考查建立数学模型的能力，同时考查利用所学知识（本题主要应用导数、基本不等式等知识求最值）分析和解决实际问题的能力．
（1）（方法一）连结．
设，矩形的面积为．
则，其中．………………………………………2分
所以． ………4分
当且仅当，即时，取最大值为．
答：取为时，矩形的面积最大，最大值为．……6分
（方法二）连结．设，矩形的面积为．
则，其中．………………………2分
所以．…………………………………4分
所以当，即时，取最大值为，此时
答：取为时，矩形的面积最大，最大值为．……………6分
（2）（方法一）设圆柱底面半径为，高为，体积为．
由，得，
所以，其中．……………………………10分
由，得，
因此在上是增函数，在上是减函数．………12分
所以当时，的最大值为．
答：取为时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为……14分
（方法二）连结．设，圆柱底面半径为，高为，体积为
则圆柱的底面半径为，高，其中．
所以………………10分
设，则．由，得，
因此在上是增函数，在是减函数…………12分
所以当时，即，此时时，的最大值为
答：取为时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为……14分
26．的面积是30，内角所对边长分别为，。
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若，求的值。
【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力.
【解题指导】（1）根据同角三角函数关系，由得的值，再根据面积公式得；，代入已知条件，及求a的值.
解析：由，得.
又，∴.
（Ⅰ）.
（Ⅱ），
∴.
【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求的值，考虑已知的面积是30，，所以先求的值，，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可.
27．已知圆过点和，它与圆相交，它们的公共弦平行于直线
，求圆的方程。
解析：
28．如图，在中，已知，点为的三等分点，求的长（）．
解析：在中，由余弦定理，
得，
即，
．
解得，（舍），
在中，由正弦定理，得，
．．
在中，由余弦定理，
得，
．
同理：在中求得．
29．已知函数，（1）当时，求函数的最小值；（2）若对任意恒成立，试求实数的取值范围。