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学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、选择题（共3题，总计0分）
1．为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位(2008全国1理)
A. 只需将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像.
解析：
2． （2006）过双曲线的左顶点作斜率为1的直线, 若与双曲线的两条渐近线分别相交于点, 且, 则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
解析：A
3．给出下列命题，其中正确的命题是
（ ）
(A) 若，且，那么一定是纯虚数 (B)若、且，则
(C) 若，则不成立 (D) 若，则方程只有一个根
解析：A
评卷人
得分
二、填空题（共14题，总计0分）
4．已知向量，，函数．
（1）若，求的值域；
（2）已知、、分别为内角、、的对边，且，，成等比数列，角为锐角，且，求的值．
．
解析：
5．抛物线的准线方程为 ▲ ．
解析：
6．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯））执行如图所示的程序框图,若输入的值为,则输出的值为______.
是
否
输入
输出
结束
开始
第11题图
n
解析：
7．（2013年高考湖南卷（理））设为数列的前n项和,则
(1)_____; (2)___________.
答案：;
解析：;
8．已知一个等差数列的前三项分别为，则它的第五项为 ．
答案：7
解析： 7
9．已知圆Cl：，圆C2与圆C1关于直线x－y－l =0对称，则圆C2的方程为
．
解析：
10．已知为锐角,则 .
解析：
11．连续掷一枚均匀的正方体骰子(6个面分别标有1,2,3,4,5,6).现定义数列:当向上面上的点数是3的倍数时,;当向上面上的点数不是3的倍数时,.设S是其前项和,那么S=3的概率是 .
解析：
12．有下列命题：
①函数y=4cos2x，x∈[－l0，10]不是周期函数；
②函数y=4cos2x的图象可由y=4sin2x的图象向右平移个单位得到；
③函数y=4cos(2x+)的图象关于点(,0)对称的—个必要不充分条件是=π+(k∈Z);
④函数y=的最小值为2—4．
其中正确命题的序号是 ．(把你认为正确的所有命题的序号都填上)
答案：①③
解析：①③
13．如果执行右面的程序框图，那么输出的 ．
否
是
第4题
答案：46
解析：46
14．已知A（1，2），B（3，2），向量与相等，则x= ，y= 。
答案：–1；1
解析：– 1； 1
15．若，，则 ．
答案：（0，3
解析：（0，3）
【解析】因为所以
16．设数列{an}、{bn}分别为正项等比数列，Sn、Tn分别为{lgan}与{lgbn}的前n项的和，且，则= 。
解析：
17．已知集合，，则=
解析：
评卷人
得分
三、解答题（共13题，总计0分）
18．
．（本小题满分16分）
已知为椭圆C的左右焦点，且点在椭圆C上
（1） 求椭圆C的方程；
（2） 过F1的直线l交椭圆C于A,B两点，则三角形F2AB的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求其最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由。
解析： .解：（Ⅰ）椭圆的方程为
（2）当直线斜率存在时，设直线：，
由得，
设，，
所以，
设内切圆半径为，因为的周长为（定值），，
所以当的面积最大时，内切圆面积最大，又，
令，则，所以
又当不存在时，，此时，
故当不存在时圆面积最大， ，此时直线方程为.
（也可以设直线，避免对的讨论，参照以上解法，按相应步骤给分）
19．（本小题满分16分）已知数列的各项均为正数，数列，满足，．
（1）若数列为等比数列，求证：数列为等比数列；
（2）若数列为等比数列，且，求证：数列为等比数列．
解析： 解：（1）因为数列为等比数列，所以（为常数），
所以为常数，所以数列为等比数列；
（2）因为数列是等比数列，所以（为常数），
所以．则．
所以，即．
因为，所以，则．
所以；．
所以，即．
因为数列是等比数列，所以，即，
把代入化简得，所以数列为等比数列．
20．某校迎接校庆中有一项工作是请20位工人制作100只灯笼和20块展板．已知一名工人在单位时间内可制作10只灯笼或3块展板．现将20名工人分成两组，一组制作灯笼，一组制作展板，同时开工．设制作灯笼的工人有x名（）．
（Ⅰ）用x分别表示制作100只灯笼和20块展板所用的单位时间；
（Ⅱ）求当x为何值时，完成此项工作时间最短．
解析： （Ⅰ）制作100只灯笼所用单位时间为＝（）； -------------------3分
制作展板的工人为（20－x）人，
制作20块展板所用的单位时间g（x）=（）． - -------------------------------6分
（Ⅱ）由题意，完成此项工作的时间是两组中完成晚的那组时间，即和中的最大值． ------------------------------------------------------------------------------------------------------8分
当＝，即，x＝12． ----------------------------------------------------------------9分
由于在定义域内为减函数，为增函数， --------------------------------------------------11分
所以当x＜12时，＞，即完成工作的时间将变长； ----------------------------------------12分
当x＞12时，，即完成工作的时间将变长； ----------------------------------------------13分
所以当x＝12时，完成此项工作时间最短． ---------------------------------------------------14分
21．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，，M为PC上一点，且PA∥平面BDM．
⑴求证：M为PC中点；⑵求平面ABCD与平面PBC所成的锐二面角的大小．
（理）A
P
B
C
D
M
第18题图
解析：
22．(14分)已知圆与相交于两点．
（1）求公共弦所在的直线方程；
（2）求经过两点且面积最小的圆的方程．
解析： ① ――――――6分
②圆心所在的直线方程是，与直线AB的交点是
到直线AB的距离
所求圆方程为：――――――――14分
23．如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为，与的夹角为，且，，;
（1） 求的角度;
（2） 设.
①若，则求实数的值;
②若，则求实数的值.
解析：;;
,;.
24．已知函数，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）求的最小值．
解析：解：（1）若，则 …………………………2分
故，得 …………………………6分
（2）当时，
……………………10分
当时，
……………………14分
综上 ……………………16分
25．设矩阵M是把函数的图象变成函数的图象，求M的特征值与特征向量．
解析：解：
…………（4分）