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学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、选择题（共5题，总计0分）
1． ．（2013年高考湖南（文））某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n=___ D．____ （ ）
A．9 B．10 C．12 D．13
解析：D
2．(2005重庆理)若动点（）在曲线上变化，则的最大值为 （ ）
A． B．
C． D．2
解析：A
3．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D． (2006湖南理)
答案：D
解析：D函数的定义域是，解得x≥4，选D.
4．方程tan（2x＋）＝在区间［0，2π上解的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2（1995上海3）
解析： B
解析：由已知得2x＋＝＋kπ（k∈Z），x＝（k∈Z），x＝0，，π，.故选B．
5．设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形面积（），则为等比数列的充要条件为 （ ）
A．是等比数列。
B．或是等比数列。
C．和均是等比数列。
D．和均是等比数列，且公比相同。
解析：D(2011年高考上海卷理科18)
评卷人
得分
二、填空题（共15题，总计0分）
6． 【2014高考广东卷理第13题】若等比数列的各项均为正数，且，则 .
解析：
7．将函数的图象先向左平移1个单位，再横坐标伸长为原来的2倍，则所得图象对应的函数解析式为 ．
解析：
8．设为定义在R上的奇函数，当时，则 ．
解析：
9．如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB//CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_____________.（2013年高考江西卷（文））
答案：4
解析：4
10．函数的零点个数为_______________
答案：2个
解析：2个
11．设，则的最小值为___▲___.
解析：
12．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为，，则的概率为 ▲ ．
答案：；
解析： ；
13．存在实数，使得成立，则的取值范围是___▲___．
解析：
14．如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机的撒300颗黄豆，数得落在圆外的黄豆数为60颗，以此实验数据可以估计出椭圆的面积约为
解析：
15．已知A，B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B={3},(B)∩A={9},则A=_▲_.
答案：{3,9}
解析：{3,9}
16．对于,不等式恒成立,则实数p的取值范围为 .
解析：
17．一只不透明的布袋中装有编号为1、2、3、4、5的五个大小形状完全一样的小球，现从袋中同时摸出只小球，用随机变量表示摸出的只球中的最大号码数，则随机变量的数学期望 ．
解析：
18．是等差数列的前n项和，(n≥5，)， =336，则n的值是 .
答案：21.
解析：21.
19．从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中，任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为 ．
解析：
20．A、B两个小岛相距10m，从A岛望C岛与B岛成角，从C岛望B岛和A岛成角，则B、C间的距离为_____________；
解析：
评卷人
得分
三、解答题（共10题，总计0分）
21．如图，在平面直角坐标系中，A、B分别是椭圆：的左、右顶点， P(2,t)（t∈R,且t≠0）为直线x＝2上一动点，过点P任意引一直线l与椭圆交于C、D，连结PO，直线PO分别和AC、AD连线交于E、F。
（1）当直线l恰好经过椭圆右焦点和上顶点时，求t的值 ；
（2）若t＝-1，记直线AC、AD的斜率分别为k1，k2 ，
求证：+定值；
（3）求证：四边形AFBE为平行四边形。
解析： 解：（1）由题意：上顶点C(0，1)，右焦点E(-，0)，
所以l：y＝-x+1，令x＝2，得t＝1-……………………………………………2分
(2)直线AC：y＝k1(x+2)，与联立
得：C:，同理得D: …………………………………4分
由C，D，P三点共线得：kCP＝kDP，得+＝-4（定值）…………………………8分
(3)要证四边形AFBE为平行四边形，即只需证E、F的中点即点O，
设点P(2,t)，则OP：y＝x，分别与直线AC：y＝k1(x+2) 与AD：y＝k2(x+2)联立得：
xE＝，xF＝，下证：xE+xF＝0，即+＝0
化简得：t(k1+k2)-4k1k2＝0………………………………………………………………12分
由(2)可知C:，D:
由C，D，P三点共线得：kCP＝kDP，得t(k1+k2)-4k1k2＝0（得证）………………16分
22．已知函数f(x)＝x－1－ln x.
(1)求函数f(x)的最小值；
(2)求证：当n∈N*时，e1＋＋＋…＋>n＋1；
(3)对于函数h(x)和g(x)定义域上的任意实数x，若存在常数k，b，使得不等式h(x)≥kx＋b和g(x)≤kx＋b都成立，则称直线y＝kx＋b是函数h(x)与g(x)的“分界线”．设函数h(x)＝x2，g(x)＝e[x－1－f(x)]，试问函数h(x)与g(x)是否存在“分界线”？若存在，求出常数k，b的值；若不存在，说明理由．
解析：(1)∵f(x)＝x－1－ln x(x>0)，
∴f′(x)＝1－＝.
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)递减；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)递增．
∴f(x)的最小值为f(1)＝0.
(2)证明：由(1)知当x>0时，恒有f(x)≥0，
即x－1≥ln x.
故ex－1≥x，从而有ex≥x＋1，当且仅当x＝0时取等号．分别令x＝1，，，…，可得e1>1＋1＝2，e>＋1＝，e>＋1＝，…，e>＋1＝，
相乘可得e1＋＋＋…＋>2×××…×＝n＋1，即e1＋＋＋…＋>n＋1.
(3)令F(x)＝h(x)－g(x)＝x2－eln x(x>0)，
则F′(x)＝x－＝，
当x∈(0，)时，F′(x)<0，F(x)递减；
当x∈(，＋∞)时，F′(x)>0，F(x)递增．
所以当x＝时，F(x)取得最小值0.
则h(x)与g(x)的图象在x＝处有公共点.
设函数h(x)与g(x)存在“分界线”，方程为y－＝k(x－)，应有h(x)≥kx＋－k在x∈R时恒成立，即x2－2kx－e＋2k≥0在x∈R时恒成立，
必须Δ＝4k2－4(2k－e)＝4(k－)2≤0，得k＝.
下证g(x)≤x－在x>0时恒成立，
记G(x)＝eln x－x＋，
则G′(x)＝－＝，当x∈(0，)时，G′(x)>0，G(x)递增；当x∈(，＋∞)时G′(x)<0，G(x)递减．
所以当x＝时，G(x)取得最大值0，
即g(x)≤x－在x>0时恒成立．
综上可知，函数h(x)与g(x)存在“分界线”，其中k＝，b＝－.
(1)利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围和符号．
(2)可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数表示曲线在点P(x0，f(x0))处切线的斜率，因此，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程可如下求得：
①求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率．
②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y＝y0＋f′(x0)(x－x0)．
23．已知命题p：∀x∈[1,12]，x2－a≥：∃x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1<，p且q为假，求实数a的取值范围．
解析： 解 ∵∀x∈[1,12]，x2－a≥0恒成立，即a≤x2恒成立，
∴a≤：a≤1，∴¬p：a>1. ……………………………… 3分
又∃x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1<0.
∴Δ＝(a－1)2－4>0，∴a>3或a<－1， ………………………………6分
即q：a>3或a<－1，∴¬q：－1≤a≤3.
又p或q为真，p且q为假，∴p真q假或p假q真． ………………………………8分
当p真q假时，{a|a≤1}∩{a|－1≤a≤3}＝{a|－1≤a≤1}．………………………………10分
当p假q真时，{a|a>1}∩{a|a<－1或a>3}＝{a|a>3}． ………………………………12分
综上所述，a的取值范围为{a|－1≤a≤1}∪{a|a>3}． ……………………………… 14分
24．已知椭圆的方程为，点分别为其左、右顶点，点分别为其左、右焦点，以点为圆心，为半径作圆；以点为圆心，为半径作圆；若直线被圆和圆截得的弦长之比为；
（1）求椭圆的离心率；
（2）己知，问是否存在点，使得过点有无数条直线被圆和圆截得的弦长之比为；若存在，请求出所有的点坐标；若不存在，请说明理由．
A
·
F2
F1
y
B
x
O
·
解析： 解：（1）由，得直线的倾斜角为，
则点到直线的距离，
故直线被圆截得的弦长为，
直线被圆截得的弦长为， （3分）
据题意有：，即， （5分）
化简得：，
解得：或，又椭圆的离心率；
故椭圆的离心率为．（7分）
（2）假设存在，设点坐标为，过点的直线为；
当直线的斜率不存在时，直线不能被两圆同时所截；
故可设直线的方程为，
则点到直线的距离，