文档介绍：简单的二元二次方程组(3课时)
一、教学目标
1、了解二元二次方程、二元二次方程组的概念。 
2、掌握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法,会用代入法求方程组的解。
3、通过解简单的二元二次方程组,进一步理解“消元”“降次”的方法,了解“转化”的数学思想方法。
4、掌握由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法。
5、通过解简单的二元二次方程组,进一步理解“消元”、“降次”的数学方法,获得对事物可以转化的进一步认识。
二、内容综述:
解二元二次方程组的基本思想是“转化”,这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元,将二次转化为一次是降次,这是转化的基本方法。因此,掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。
“二·一”型和“二·二”型,又分别成为Ⅰ型和Ⅱ型。
“二·一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组;“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。
“二·一”型方程组的解法
(1)代入消元法(即代入法)
代入法是解“二·一”型方程组的一般方法,具体步骤是:
①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示;
②把这个代数式代入二元二次方程,得到一个一元二次方程;
③解这个一元二次方程,求得一个未知数的值;
④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程,求得另一个未知数的值;如果代入二元二次方程求另一个未知数,就会出现“增解”的问题;
⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起,就是原方程组的解。
(2)逆用根与系数的关系
对“二·一”型二元二次方程组中形如的方程组,可以根据一元二次方程根与系数的关系,把x、y看做一元二次方程z2-az+b=0的两个根,解这个方程,求得的z1和z2的值,就是x、y的值。当x1=z1时,y1=z2;当x2=z2时,y2=z1,所以原方程组的解是两组“对称解”。
注意:不要丢掉一个解。
此方法是解“二·一”型方程组的一种特殊方法,它适用于解“和积形式”的方程组。
以上两种是比较常用的解法。除此之外,还有加减消元法、分解降次法、换元法等,解题时要注意分析方程的结构特征,灵活选用恰当的方法。
注意:(1)解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。
          (2)要防止漏解和增解的错误。
“二·二”型方程组的解法
(i) 当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时,可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组,解得这两个“二·一”型方程组,所得的解都是原方程组的解。
(ii) 当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时,将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组,可得到四个二元一次方程组,解这四个二元一次方程组,所得的解都是原方程的解。
注意:“二·一”型方程组最多有两个解,“二·二”型方程组最多有四个解,解方程组时,即不要漏解,也不要增解
三、例题分析
第一阶梯
[例1]解下列方程组
 
思路分析:这两道题都可用代入消元法来解。
解:(一)把(2)代入(1),整理,得:5x2=5.
解这个方程,得:x1=1,x2=-1.
把x1=1代入(2),得y1=2;
把x2=-1代入(2),得y2=-2.
∴原方程组的解是
            
 
把(3)代入(1),整理得 x2-4x+5=0
此时因为Δ<0,方程无解。
∴原方程组没有实数根。
[例2]解下列方程组:
 
思路分析:第(一)题中观察到方程(2)可分解为(2x-y)(3x-y)=0,符合本节题目特点;第(二)题中两个方程都可分解;方程(1)分解为(x-4y)·(x+y)=0,方程(2)可分解为(x+2y+1)(x+2y-1),因而它们都可用本节介绍的方法来解。
解:(一)由(2),得:(2x-y)(3x-y)=0,
所以2x-y=0,或3x-y=0.
因此,原方程组可化为两个方程组
       
用代入法解这两个方程组,得原方程组的解为
      
(二)由(1)得:(x-4y)(x+y)=0,
∴x-4y=0,或x+y=0.
    由(2)得: (x+2y+1)(x+2y-1)=0,
    ∴x+2y+1=0,或x+2y-