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学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、选择题（共4题，总计0分）
1．是虚数单位，复数（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：A
解析：，选A.
2．设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有 （ ）（2013年高考陕西卷（文））
A．[-x] = -[x] B．[x + ] = [x] C．[2x] = 2[x] D．
解析：D
3．，前m年的年平均产量最高。m值为（ ）
解析：C【2012高考真题北京理8】
【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C。
4．若，则该数列的前2011项的乘积 [答]( )
A．3． B．-6． C．． D．．
答案：AD
解析：(理科)A(文科)D
评卷人
得分
二、填空题（共14题，总计0分）
5．若复数()是纯虚数，则= .
解析：
6．如图2,在半径为的中,弦相交于点,,则圆心到弦的距离为____________.（2013年高考湖南卷（理））
解析：
7． 某射击选手连续射击枪命中的环数分别为：,,,,，
则这组数据的方差为 ▲ ．
答案：；
解析： ；
8． 直线a∥b，b，则a与的位置关系是 ▲ .
解析：
9．三条直线 不能围成三角形，则的取值集合
是 ▲_
答案：（课本P85,8题改编）
解析： （课本P85,8题改编）
10．已知实数满足不等式组 则目标函数的最大值为__________.
答案：4
解析：4
11．已知实数，则函数为偶函数的
概率是 ▲ ．
答案：;
解析：;
12．设向量a，b满足：，，则 ．
答案：2；
解析：2；
13．过两异面直线a，b外一点，可作一个平面与a，b都平行 （ ）
答案：×
解析：×
14．在等差数列中，若，则它的通项公式为______
解析：
15． 已知函数由下表给出，则满足的x的
值是 ▲ .
答案：2，3
解析： 2，3
16．若角的终边落在直线y＝－x上，则的值等于___________
答案：０
解析：０
17．在边长为2的正三角形ABC中，以A为圆心，为半径画一弧，分别交AB，AC于D，E．若在△ABC这一平面区域内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE内的概率是 △ ．
解析：
18． 函数f(x)=的值域为 ▲ .
答案：；
解析：；
评卷人
得分
三、解答题（共12题，总计0分）
19．（选修４－１：几何证明选讲）在中，过点A的直线与其外接圆交于点P,交BC延长线于点D. 求证：
解析： 由，所以，所以
所以所以所以
由，所以 .………10分
20．某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件 .经试销调查，发现销售量（件）与销售单价（元/件）可近似看作一次函数的关系（如图所示）.
（1）根据图象，求一次函数的表达式；
（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价—成本总价）为元. 试用销售单价表示毛利润并求销售单价定为多少时，该公司获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？(本题满分16分)
200
400
600
700
100
200
300
400
第18题
解析： ⑴由图象知，当时，；当时，，
分别代入，解得，，
所以．……………………………………………………6分
⑵销售总价销售单价销售量，成本总价成本单价销售量，
代入求毛利润的公式，得
………………10分
，
当时，，此时．……………………………………………14分
答：当销售单价为元/件时，可获得最大毛利润为元，此时销售量为件．
…………………………………………………16分
21．已知数列满足
（1）求的值. （2）由①猜想数列的通项公式，并证明.
解析：
22．（14分）从某校参加2012年全国高中数学联赛预赛的450名同学中，随机抽取若干名同学，将他们的成绩制成频率分布表，下面给出了此表中部分数据．
（1）根据表中已知数据，你认为在①、②、③处的数值分别为 ▲ ， ▲ ， ▲ ．
（2）补全在区间 [70，140] 上的频率分布直方图；
（3）若成绩不低于100分的同学能参加决赛，那么可以估计该校大约有多少学生能参加决赛？
分组
频数
频率
[70，80）
[80，90）
③
[90，100）
[100，110）
16
[110，120）
[120，130）
2
②
[130，140]
合计
①
解析： 解：（1）50；；．
（2）如图． （3）在随机抽取的名同学中有
名出线,．
答：在参加的名中大概有207名同学出线．
23．第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD，，．a，(点E，F分别在线段AB，AD上)，且该直角三角形AEF的周长为()，如图．设，△的面积为．
F
E
b
a
B
D
C
A
(1)求关于的函数关系式；
(2)试确定点E的位置，使得直角三角形地
块的面积最大，并求出的最大值．
解析： 解：(1)设，则，整理，得．………3分
，． …………………………………4分
(2)
当时，，在递增，故当时，；
当时，在上，，递增，在上，，递减，故当时，.
24．设a>0，f(x)=是R上的偶函数.
（1）求a的值；
（2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数.
解析：（1）解 ∵f（x）是R上的偶函数，∴f（-x）=f（x），
∴
∴（a-=0对一切x均成立，
∴a-=0，而a>0,∴a=1.
（2）证明 在（0，+∞)上任取x1、x2，且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)= +--
= (
∵x1<x2,∴有
∵x1>0,x2>0,∴x1+x2>0,∴>1,
-1<0.∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
故f(x)在（0,+∞）上是增函数.
25．，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.，每年年底上缴资金d万元，.
（Ⅰ）用d表示a1，a2，并写出与an的关系式；
（Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）. 【2012高考湖南文20】（本小题满分13分）
解析：【解析】（Ⅰ）由题意得，
，
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
.
整理得
.
由题意，
解得.
故该企业每年上缴资金的值为缴时，经过年企业的剩余资金为４０００元.
【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用，，得出与an的关系式，第二问，只要把第一问中的迭代，即可以解决.
26． 已知函数.
（1）求证：函数在上单调递增；
（2）若函数有三个零点，求的值；
（3）若存在，使得，试求的取值范围.
解析：解：（Ⅰ）…………………3分
由于或，故当时，，所以，
故函数在上单调递增 ………………………………………5分
（Ⅱ）当时，因为，且在R上单调递增，
故有唯一解…………………………………………7分
所以的变化情况如下表所示：
x
0
－
0
＋
递减
极小值
递增
又函数有三个零点，所以方程有三个根，
而，所以，解得 ……………11分
（Ⅲ）因为存在，使得，
所以当时，…12分
由（Ⅱ）知，在上递减，在上递增，
所以当时，，
而，
记，因为（当时取等号），
所以在上单调递增，而，
所以当时，；当时，，
也就是当时，；当时，………14分
①当时，由，
②当时，由，
综上知，所求的取值范围为……………………………16分
27．已知函数，并设，
（1）若图像在处的切线方程为，求、的值；
（2）若函数是上单调递减，则
① 当时，试判断与的大小关系，并证明之；