文档介绍：一、方向导数
二、梯度
方向导数与梯度
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一、方向导数
设函数zf(x, y)在点P0(x0 y0)的某一邻域U(P0)内有定义
l是xOy平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线与l同方向的单位向量为el(cos cos)
提示
即极限
取P(x0tcos y0tcos)U(P0)如果极限
方向导数
一、方向导数
设函数zf(x, y)在点P0(x0 y0)的某一邻域U(P0)内有定义
l是xOy平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线与l同方向的单位向量为el(cos cos)
存在, 则称此极限为函数f(x, y)在点P0沿方向l的方向导数, 记为
取P(x0tcos y0tcos)U(P0)如果极限
方向导数
一、方向导数
设函数zf(x, y)在点P0(x0 y0)的某一邻域U(P0)内有定义
l是xOy平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线与l同方向的单位向量为el(cos cos)
方向导数
方向导数就是函数f(x y)在点P0(x0 y0)处沿方向l的变化率
一、方向导数
设函数zf(x, y)在点P0(x0 y0)的某一邻域U(P0)内有定义
l是xOy平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线与l同方向的单位向量为el(cos cos)
方向导数
如果函数zf(x, y)在点P0(x0 y0)可微分, 那么函数在该点沿任一方向l (el(cos cos))的方向导数都存在, 且有
定理(方向导数的计算)
讨论
函数f(x, y)在点P沿x轴正向和负向, 沿y轴正向和负向的方向导数如何?
提示
函数f(x, y)在点P0沿方向l (el(cos cos))的方向导数
例1 求函数zxe2y在点P(1, 0)处沿从点P到点Q(2, 1)的方向的方向导数.
解
所以所求方向导数为
函数f(x, y)在点P0沿方向l (el(cos cos))的方向导数
因为函数可微分且
对于三元函数f(x y z)来说它在空间一点P0(x0 y0 z0)沿el(cos cos cos)的方向导数为
函数f(x, y)在点P0沿方向l (el(cos cos))的方向导数
如果函数f(x y z)在点(x0 y0 z0)可微分, 则函数在该点沿着方向el(cos cos cos)的方向导数为

例2 求f(x y z)xyyzzx在点(1 1 2)沿方向l的方向导数其中l的方向角分别为60 45 60
解
与l同向的单位向量为
因为函数可微分且
所以
fx(1 1 2)(yz)|(1 1 2)3
fy(1 1 2)(xz)|(1 1 2)3
fz(1 1 2)(yx)|(1 1 2)2
二、梯度
梯度的定义
设函数zf(x, y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数,
则对于每一点P0(x0 y0)D, 都可确定一个向量
fx(x0 y0)ify(x0 y0)j
这向量称为函数f(x, y)在点P0(x0 y0)的梯度, 记作gradf(x0 y0),
即
gradf(x0 y0)fx(x0 y0)ify(x0 y0)j