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注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等差数列中，，，则数列的前10项和（ ）
A．100 B．210 C．380 D．400
2．如图，正四面体的体积为，底面积为，是高的中点，过的平面与棱、、分别交于、、，设三棱锥的体积为，截面三角形的面积为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．设，，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．命题：存在实数，对任意实数，使得恒成立；：，为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ）
A． B． C． D．
5．函数在区间上的大致图象如图所示，则可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知整数满足，记点的坐标为，则点满足的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线：的左右焦点分别为，，为双曲线上一点，为双曲线C渐近线上一点，，均位于第一象限，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，D为的中点，E为上靠近点B的三等分点，且，相交于点P，则（ ）
A． B．
C． D．
9．在中，，，，点，分别在线段，上，且，，则（ ）．
A． B． C．4 D．9
10．若复数满足（为虚数单位），则其共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
11．已知抛物线的焦点为，对称轴与准线的交点为，为上任意一点，若，则（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
12．已知函数，其中，若恒成立，则函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，，且，则实数m的值是________．
14．数列满足，则，∈N*使得成立，则实数λ的最小值为______
15．春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战，我省某医院选派2名医生，6名护士到湖北、两地参加疫情防控工作，每地一名医生，3名护士，其中甲乙两名护士不到同一地，共有__________种选派方法.
16．在正方体中，分别为棱的中点，则直线与直线所成角的正切值为_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数在上的值域；
（Ⅱ）若函数在上单调递减，求实数的取值范围.
18．（12分）已知函数,其中,.
(1)函数的图象能否与x轴相切?若能,求出实数a;若不能,请说明理由.
(2)若在处取得极大值,求实数a的取值范围.
19．（12分）已知点为圆：上的动点，为坐标原点，过作直线的垂线（当、重合时，直线约定为轴），垂足为，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求点的轨迹的极坐标方程；
（2）直线的极坐标方程为，连接并延长交于，求的最大值.
20．（12分）已知函数.
(Ⅰ) 求函数的单调区间；
(Ⅱ) 当时，求函数在上最小值.
21．（12分）如图，在多面体中，四边形是菱形，，，，平面，，，是的中点.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（ⅠⅠ）求直线与平面所成的角的正弦值.
22．（10分）已知，其中．
（1）当时，设函数，求函数的极值．
（2）若函数在区间上递增，求的取值范围；
（3）证明：．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
设公差为，由已知可得，进而求出的通项公式，即可求解.
【详解】
设公差为，，，
,
.
故选：B.
【点睛】
本题考查等差数列的基本量计算以及前项和，属于基础题.
2、A
【解析】
设，取与重合时的情况，计算出以及的值，利用排除法可得出正确选项.
【详解】
如图所示，利用排除法，取与重合时的情况.
不妨设，延长到，使得．
，，，，则，
由余弦定理得，
，，
又，，
当平面平面时，，，排除B、D选项；
因为，，此时，，
当平面平面时，，，排除C选项.
故选：A.
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱锥的体积计算公式、排除法，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．
3、A
【解析】
根据对数的运算分别从充分性和必要性去证明即可.
【详解】
若， ，则，可得；
若，可得，无法得到，
所以“”是“”的充分而不必要条件.
所以本题答案为A.
【点睛】
本题考查充要条件的定义，判断充要条件的方法是：
① 若为真命题且为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
② 若为假命题且为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③ 若为真命题且为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④ 若为假命题且为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.
⑤ 判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系.
4、A
【解析】
分别判断命题和的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项.
【详解】
对于命题，由于，，由于，由解得，且，所以是奇函数，. 、、都是假命题.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.
5、B
【解析】
根据特殊值及函数的单调性判断即可；
【详解】
解：当时，，无意义，故排除A；
又，则，故排除D；
对于C，当时，，所以不单调，故排除C；
故选：B
【点睛】
本题考查根据函数图象选择函数解析式，这类问题利用特殊值与排除法是最佳选择，属于基础题.
6、D
【解析】
列出所有圆内的整数点共有37个，满足条件的有7个，相除得到概率.
【详解】
因为是整数，所以所有满足条件的点是位于圆（含边界）内的整数点，满足条件的整数点有
共37个，
满足的整数点有7个，则所求概率为.
故选：.
【点睛】
本题考查了古典概率的计算，意在考查学生的应用能力.
7、D
【解析】
由双曲线的方程的左右焦点分别为，为双曲线上的一点，为双曲线的渐近线上的一点，且都位于第一象限，且，
可知为的三等分点，且,
点在直线上，并且，则，，
设，则，
解得，即，
代入双曲线的方程可得，解得，故选D．
点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．
8、B
【解析】
设，则，，
由B，P，D三点共线，C，P，E三点共线,可知，,解得即可得出结果.
【详解】
设，则，，
因为B，P，D三点共线，C，P，E三点共线，
所以，，所以，.
故选:B.
【点睛】
本题考查了平面向量基本定理和向量共线定理的简单应用,属于基础题.
9、B
【解析】
根据题意，分析可得,由余弦定理求得的值，由可得结果.
【详解】
根据题意，，则
在中，又,
则
则
则
则
故选：B
【点睛】
此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.
10、D
【解析】
由已知等式求出z，再由共轭复数的概念求得，即可得虚部.
【详解】
由zi＝1﹣i，∴z＝ ，所以共轭复数=-1+，虚部为1
故选D．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数的基本概念，属于基础题．
11、C
【解析】
如图所示：作垂直于准线交准线于，则，故，得到答案.
【详解】
如图所示：作垂直于准线交准线于，则，
在中，，故，即.
故选：.
【点睛】
本题考查了抛物线中角度的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.
12、A
【解析】
，从而可得，，再解不等式即可.
【详解】
由已知，
，所以，
，由，
解得，.
故选：A.
【点睛】
本题考查求正弦型函数的单调区间，涉及到恒成立问题，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1
【解析】
根据