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考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（）
A. B.
C. D.
2．设是等差数列的前项和，已知，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
3．已知函数，那么的值为（）
A. B.
C. D.
4．直线被椭圆截得的弦长是
A. B.
C. D.
5．在中，，，且BC边上的高为，则满足条件的的个数为（）
6．，（）
；
；
；
.
7．已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（ ）
8．如果直线与直线垂直，那么的值为（）
A. B.
C.
9．已知数列满足，且，那（ ）
10．在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为16，则乙组数据的平均数为（）
11．圆（）上点到直线的最小距离为1，则
12．已知圆C过点，圆心在x轴上，则圆C的方程为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设双曲线 (0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率
14．双曲线的右焦点到C的渐近线的距离为，则C渐近线方程为______
15．从双曲线上一点作轴的垂线，垂足为，则线段中点的轨迹方程为___________.
16．若，则__________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）当时，证明：存在唯一的零点；
（2）若，求实数的取值范围.
18．（12分）已知圆C：，直线l：.
（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；
（2）当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|=时，求直线l的方程.
19．（12分）已知函数.
（1）当时，求函数在时的最大值和最小值；
（2）若函数在区间存在极小值，求a的取值范围.
20．（12分）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且的短轴长为
（1）求的方程；
（2）若直线与交于P，Q两点，，且的面积为，求k
21．（12分）已知三角形的内角所对的边分别为，且C为钝角.
（1）求cosA；
（2）若，，求三角形的面积.
22．（10分）已知圆，直线
（1）求证：对，直线l与圆C总有两个不同交点；
（2）当时，求直线l被圆C截得的弦长
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】方程化为圆锥曲线（椭圆与双曲线）标准方程的形式，然后由方程表示双曲线可得不等关系
【详解】解：方程可化为，它表示双曲线，则，解得.
故选：A
2、C
【解析】依题意有，解得，所以.
考点：等差数列的基本概念.
【易错点晴】，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算
3、D
【解析】直接求导，代入计算即可.
【详解】，故.
故选：D.
4、A
【解析】直线y＝x+1代入，得出关于x的二次方程，求出交点坐标，即可求出弦长
【详解】将直线y＝x+1代入，可得，
即5x2+8x﹣4＝0，
∴x1＝﹣2，x2，
∴y1＝﹣1，y2，
∴直线y＝x+1被椭圆x2+4y2＝8截得的弦长为
故选A
【点睛】本题查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，属于基础题
5、B
【解析】利用等面积法求得，再利用正弦定理求得，利用内角和的关系及两角和差化积公式，二倍角公式转化为，再利用正弦函数的性质求满足条的的个数，即可求解.
【详解】由三角形的面积公式知，即
由正弦定理知
所以，即，
即，即
利用两角和的正弦公式结合二倍角公式化简得
又，则，，且
由正弦函数的性质可知，满足的有2个，
即满足条件的的个数为2.
故选：B
6、B
【解析】由总体的概念可得答案.
【详解】某老师希望调查全校学生平均每天的自习时间，该教师调查了60位学生，
，
这里的总体是全校学生平均每天的自习时间.
故选：B.
7、B
【解析】根据椭圆中的关系即可求解.
【详解】椭圆的长轴长为10，焦距为8，
所以，，可得，，
所以，可得，
所以该椭圆的短轴长，
故选：B.
8、A
【解析】根据两条直线垂直列方程，化简求得的值.
【详解】由于直线与直线垂直，
所以.
故选：A
9、D
【解析】根据等比数列的定义，结合等比数列的通项公式进行求解即可.
【详解】因为，所以有，因此数列是公比的等比数列，
因为，
所以，
故选：D
10、A
【解析】根据众数的概念，求得的值，再根据平均数的计算公式，即可求解.
【详解】由题意，甲组数据的众数为16，得，
所以乙组数据的平均数为
故选：A.
11、A
【解析】根据题意可得,圆心到直线的距离等于,即,求得,所以A选项是正确的.
【点睛】判断直线与圆的位置关系的常见方法：(1)几何法：利用ｄ与ｒ的关系．(2)代数法：联立方程之后利用判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题
12、C
【解析】设出圆的标准方程，将已知点的坐标代入，解方程组即可.
【详解】设圆的标准方程为 ，
将坐标代入得: ,
解得，故圆的方程为，
故选：C.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、e＝2.
【解析】先求出直线的方程，利用原点到直线的距离为，，求出的值，进而根据求出离心率
【详解】由l过两点(a,0)，(0，b)，得l的方程为bx＋ay－ab＝0.
由原点到l的距离为c，得＝c.
将b＝代入平方后整理，得162－16·＋3＝0.
解关于的一元二次方程得＝或.
∵e＝，∴e＝或e＝2.
又0<a<b，故e＝＝＝>.
∴应舍去e＝.故所求离心率e＝2.
【点睛】本题考查双曲线性质，考查求双曲线的离心率常用的方法即构造出关于的等式，属于中档题
14、
【解析】根据给定条件求出双曲线渐近线，再用点到直线的距离公式计算作答
【详解】双曲线的渐近线为：，即，
依题意，，即，解得，
所以C渐近线方程为.
故答案为：
15、.
【解析】根据题意，设，进而根据中点坐标公式及点P已知双曲线上求得答案.
【详解】由题意，设，则，则，即，
因为，则，即的轨迹方程为.
16、
【解析】分别令和，再将两个等式相加可求得的值.
【详解】令，则；
令，则.
上述两式相加得
故答案为：.
【点睛】本题考查偶数项系数和的计算，一般令和，通过对等式相加减求得，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）当时，求导得到，判断出函数的单调性，求出最值，可证得命题成立；
（2）当且时，不满足题意，故，又定义域为，讲不等式化简，参变分离后构造新函数，求导判断单调性并求出最值，可得实数的取值范围
【详解】（1）函数的定义域为，当时，由，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；.
且，故存在唯一的零点；
（2）当时，不满足恒成立，故
由定义域为，可得，
令，则，
则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故当时，函数取得最大值（1），
故实数的取值范围是
【点睛】方法点睛：本题考查函数零点的问题，考查导数的应用，考查不等式的恒成立问题，关于恒成立问题的几种常见解法总结如下：
参变分离法，将不等式恒成立问题转化函数求最值问题；
主元变换法，把已知取值范围的变量作为主元，把求取值范围的变量看作参数；
分类讨论，利用函数的性质讨论参数，分别判断单调性求出最值；
数形结合法，将不等式两端的式子分别看成两个函数，作出函数图象，列出参数的不等式求解
18、（1）；
（2）或.
【解析】（1）由题设可得圆心为，半径，根据直线与圆的相切关系，结合点线距离公式列方程求参数a的值即可.
（2）根据圆中弦长、半径与弦心距的几何关系列方程求参数a，即可得直线方程.
【小问1详解】
由圆：，可得，
其圆心为，半径，
若直线与圆相切，则圆心到直线距离，即，可得：.
【小问2详解】
由（1）知：圆心到直线的距离，
因为，即，解得：，
所以，整理得：，解得：或，
则直线为或.
19、（1）最大值为9，最小值为；
（2）.
【解析】（1）利用导数研究函数的单调性，进而确定在的极值、端点值，比较它们的大小即可知最值.
（2）讨论参数a的符号，利用导数研究的单调性，结合已知区间的极值情况求参数a的范围即可.
【小问1详解】
由题，时，，则，
令，得或1，则时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增.
∴在时取极大值，在时取极小值，又，，
综上，在区间上取得的最大值为9，最小值为.
小问2详解】
，且，
当时，单调递增，函数没有极值；
当时，时，单调递增；时，单调递减；时，，单调递增.
∴在取得极大值，在取得极小值，则；
当时，时，单调递增；时，单调递减；时，，单调递增.