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综合练习 (三)
班级：______________，姓名：___________________, 成绩：________________
一. 选择题：(每小题4分，共4×10 = 40分)将正确答案填入下表中
1. 已知集合M = {x | -1 < x < 2}, N = {x | x < a}. 若MN ¹ Æ，那么a的取值范围是
(A) (-¥, 2] (B) (-1, +¥) (C) [-1, +¥) (D) [-1, 1]
2. a, bÎR，则 <成立的一个充分而不必要条件是
(A) b < a < 0 (B) a < b (C) ab(a－b) > 0 (D) a > b
3. 直线l1 : x + y－3 = 0和斜率为且过点(－2,0)的直线l2交于P点，又l1与x, y轴分别交于P1 , P2点，则P分的比为
(A) 2 (B) (C)－ (D) 3
4. 下面有四个命题：①“直线a, b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a, b不相交”；②“直线l^平面a内所有直线”的充要条件是“l^a”；③“直线a^b”的充分不必要条件是“a垂直于b在平面a内的射影”；④“直线a //平面a”的必要不充分条件是“直线a平行于平面a内的一条直线”. 其中正确命题的序号是
(A)②③④ (B) ②③ (C) ①③ (D) ②④
5. 复数z1满足|z1 +－i| £ 1，复数z2满足|z2| = |z2－2 + 2i|，那么|z1－z2|的最小值是
(A) (B) + 1 (C) + 2 (D) 3
6. (理)函数y = (£ x £)的值域是
(A) [,] (B) [,] (C) [,] (D) [,]
(文)设a, b > 0，且0 < a + b < p ，则y = sin(a + b)－(sina + sinb)的值是
(A) 正数 (B) 负数 (C) 零 (D) 非正数
7. 已知{an}是等比数列，公比为q，设Sn = a1 + a2C+ a3C+… + an+1C(其中n > 2, n Î N)，且Sn’ = C+C+…+C，如果存在，则公比q的取值范围是
(A)－1 < q £ 1 (B)－1 < q < 1 (q ¹ 0) (C)－3 < q < 1 (D)－3 < q £ 1 (q ¹ 0)
8. 将10个相同的小球全部装入3个编号为1、2、3的盒子中. 要求每个盒子中球的个数不少于盒子的编号数，则所有不同装法的种数是
(A) 9 (B) 12 (C) 15 (D) 18
9. 已知函数f (x) = ax2 + bx + c (a, b, cÎR)对一切实数x, f (1－x) = f (1 + x)均成立，且f (－1) < 0,
f (0) > 0，则有
(A) c < 2b (B) abc > 0 (C) a + b + c < 0 (D) b < a + c
10. 设F1, F2是椭圆的两个焦点，以F1为圆心且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为M. 若直线F2M与圆F1相切，则椭圆的离心率是
(A) －1 (B) 2－ (C) (D)
二. 填空题：(每小题4分，共4×4 = 16分)
11. 求值：= ___________________ .
12. 若(3x－1)n (nÎN)的展开式中各项系数和为128，则展开式中x2项的系数为__________ .
13. 已知OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得的曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为__________________ .
14. 给出下列命题：①若0 < a <，则cos (1 + a) < cos (1－a)；②若0 < a < 1，则> 1 + a >；③若实数x, y满足y = x2，则log2(2x + 2y)的最小值是；④若a, bÎR，则a2 + b2 + ab + 1 > a + b. 其中正确命题的序号是________________________ .
三. 解答题：(共44分)
15. 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是直角三角形，ÐABC = 90°, 2AB = BC = BB1 = a，且A 1CAC1 = D, BC1B1C = E，截面ABC1与截面A1B1C交于DE. (1)求证：A1C^BC1；(2)求证：DE^平面BB1C1C；(3)设二面角D－BB1－E为q，求tgq的值；(4)求三棱锥B1－DEB的体积.
16. 在经济学中，函数f (x)的边际函数Mf (x)定义为：Mf (x) = f (x + 1)－f (x). 某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台的收入函数R (x) = 3000x－20x2 (单位：元)，其成本函数为C (x) = 500x + 4000 (单位：元)，利润是收入与成本之差. (1)求利润函数P (x)及边际利润函数MP (x)；(2) 利润函数P (x)及边际利润函数MP (x)是否具有相等的最大值？(3)你认为本题中边际利润函数MP (x)取得最大值的实际意义是什么？
17. 直线ax－y + 1 = 0与曲线3x2－y2 = 1相交于A, B两点. (1)当a为何值时，以AB为直径的圆过原点；(2)是否存在这样的实数a使两交点A, B关于直线y = 2x对称.
18. 64个正数排成8行8列，如图所示. 在符号ai j (1 < i < 8, 1 < j < 8)中，i表示该数所在的行数，j表示该数所在的列数. 已知每一行数都成等差数列，而每一列数都成等比数列且每列的公比q相等. 若a11 =, a24 = 1, a32 =. (1)求ai j的通项公式；(2)记第k行各项和为Ak，求A1的值及Ak的通项公式；(3)若Ak < 1，求k的值.
参考答案：
一．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
A
A
D
B
B
D
C
A
A
二. 11. Ö2/2; 12.- 189 ; 13. 1/4Ö2; 14.①②④;
.(3)1/2; (4)V=a3/48;
16. (1)P (x) = R (x) - C (x) = -20x2 + 2500x - 400 (xÎN且xÎ[1, 100]), MP (x) = 2480 - 40x (xÎN且xÎ[1, 100]); (2)
∵P (x) = -20(x - 125/2)2 + 74125∴当x = 62或63时，P (x)有最大值74120. 又MP (x)是减函数∴x = 1时，MP (x)有最大值2440∴P (x)与MP (x)不具有相等的最大值；(3)MP (x)当x = 1时取得最大值说明生产第二台与生产第一台的总利润差最大，即第二台产品的利润最大. MP (x)是减函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润比较，利润在减少.
17. (1)a = ±1; (2)不存在.
18.：(1)设第一行的公差为d，则a24 = a14q = (a11 + 3d)q = 1, a32 = a12q2 = (a11 + d)q2 = 1/4∴d = 1/2, q = 1/2∴ai j = a1 j qi - 1 = [a11 + (j - 1)d]qi - 1 = j·(1/2)i ; (2)A1 = (1/2 + 4)·4 = 18, Ak = qk-1 (a11 + a12 + … + a18) = 36/2k; (3) ∵Ak < 1∴36 < 2k∴k = 6, 7, ·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
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