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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数一个递增区间为
C．函数的图像关于直线对称
D．将函数图像向左平移个单位可得函数的图像
2．在中，，则 （ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，（阴影），设直角三角形有一个内角为，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）
A．20 B．27 C．54 D．64
4．设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
5．在声学中，声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：）.，
，那么（ ）
A． B． C． D．
6．在长方体中，，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
8．已知函数，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的( )
A．9 B．31 C．15 D．63
10．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为，，，且，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知平行于轴的直线分别交曲线于两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数，，则这3个实数都小于
的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，若恒成立，则的取值范围是___________.
14．的展开式中，的系数是__________. (用数字填写答案)
15．设为互不相等的正实数，随机变量和的分布列如下表，若记，分别为的方差，则_____．（填>，<，=）
16．三棱柱中， ，侧棱底面，，则球的表面积的最小值为_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上上一点，且点的横坐标为，.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线与抛物线交于、两点，过点且与直线垂直的直线与准线交于点，设的中点为，若、、四点共圆，求直线的方程.
18．（12分）已知函数（），不等式的解集为.
（1）求的值；
（2）若，，，且，求的最大值.
19．（12分）如图，在四边形中，，，.
（1）求的长；
（2）若的面积为6，求的值.
20．（12分）已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于、两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）设为抛物线上任意一点（异于顶点），过做倾斜角互补的两条直线、，交抛物线于另两点、，记抛物线在点的切线的倾斜角为，直线的倾斜角为，求证：与互补.
21．（12分）如图，三棱锥中，
（1）证明：面面；
（2）求二面角的余弦值.
22．（10分）已知等差数列中，，数列的前项和.
（1）求；
（2）若，求的前项和.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
化简到，根据定义域排除，计算单调性知正确，得到答案.
【详解】
，
故函数的定义域为，故错误；
当时，，函数单调递增，故正确；
当，关于的对称的直线为不在定义域内，故错误.
平移得到的函数定义域为，故不可能为，错误.
故选：.
【点睛】
本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，定义域，对称，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能力.
2、A
【解析】
先根据得到为的重心，从而，故可得，利用可得，故可计算的值．
【详解】
因为所以为的重心，
所以,
所以,
所以，因为，
所以，故选A．
【点睛】
对于，一般地，如果为的重心，那么，反之，如果为平面上一点，且满足，那么为的重心．
3、B
【解析】
设大正方体的边长为，从而求得小正方体的边长为，设落在小正方形内的米粒数大约为，利用概率模拟列方程即可求解。
【详解】
设大正方体的边长为，则小正方体的边长为，
设落在小正方形内的米粒数大约为，
则，解得：
故选：B
【点睛】
本题主要考查了概率模拟的应用，考查计算能力，属于基础题。
4、D
【解析】
令，可得.
在坐标系内画出函数的图象（如图所示）.
当时，.由得.
设过原点的直线与函数的图象切于点，
则有，解得.
所以当直线与函数的图象切时.
又当直线经过点时，有，解得.
结合图象可得当直线与函数的图象有3个交点时，实数的取值范围是.
即函数在区间上有三个零点时，.
点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解.
5、D
【解析】
由得，分别算出和的值，从而得到的值.
【详解】
∵，
∴，
∴，
当时，，∴，
当时，，∴，
∴，
故选：D.
【点睛】
本小题主要考查对数运算，属于基础题.
6、C
【解析】
在长方体中， 得与平面交于，过做于，可证平面，可得为所求解的角，解，即可求出结论.
【详解】
在长方体中，平面即为平面，
过做于，平面，
平面，
平面，为与平面所成角，
在，
，
直线与平面所成角的余弦值为.
故选:C.
【点睛】
本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题.
7、C
【解析】
根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果.
【详解】
对于，当为内与垂直的直线时，不满足，错误；
对于，设，则当为内与平行的直线时，，但，错误；
对于，由，知：，又，，正确；
对于，设，则当为内与平行的直线时，，错误.
故选：.
【点睛】
本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析，考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况，属于基础题.
8、A
【解析】
根据分段函数直接计算得到答案.
【详解】
因为所以.
故选：.
【点睛】
本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力.
9、B
【解析】
根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果.
【详解】
执行程序框；；；
；；，
满足，退出循环，因此输出，
故选:B.
【点睛】
本题考查循环结构输出结果，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.
10、B
【解析】
根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而得到外接球的半径，求得外接球的面积后可求出最小值．