文档介绍：高考数学函数部分知识点梳理
函数的定义域
①分母不能为0;②对数的真数必须为正;③偶次根式中被开方数应为非负数;④零指数幂中,底数不等于0;⑤负分数指数幂中,底数应大于0;⑥若解析式由几个部分组成,则定义域为各个部分相应集合的交集;⑦如果涉及实际问题,还应使得实际问题有意义。
函数的值域
(1)配方法:对于(可化为)“二次函数型”的函数常用配方法,如求函数,可变为解决
(2)基本函数法:一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求,
如函数就是利用函数和的值域来求。
(3)判别式法:通过对二次方程的实根的判别求值域。
如求函数的值域
分离常数法:常用来求“分式型”函数的值域。如求函数的值域
(5)利用函数的单调性求求值域:如求函数的值域
(6)图象法:如果函数的图象比较容易作出,则可根据图象直观地得出函数的值域
(7)导数法――一般适用于高次多项式函数,如求函数,的最小值。(-48)
(8)对勾函数法:
定义域是:{x|x0} 值域是:。当x>0,有,有最小值是2,当x<0,有x=-,有最大值是:-2。由函数的单调性可得其值域为(-∞,-2)∪(2,+∞)。
函数的单调性(复合函数单调性的特点是同增异减)
如果对于区间内的任意两个值,,当时,都有,那么就说在区间上是单调增函数,称为的单调增区间;如果对于区间内的任意两个值,,当时,都有,那么就说在区间上是单调减函数,称为的单调减区间。
如果用导数的语言来,那就是:设函数,如果在某区间上,那么为区间上的增函数;如果在某区间上,那么为区间上的减函数;
注意:(1),型函数的图象和单调性在解题中的运用:增区间为,减区间为.
(2)函数的最大(小)值
设函数的定义域为,如果存在定值,使得对于任意,有恒成立,那么称为的最大值;如果存在定值,使得对于任意,有恒成立,那么称为的最小值。
函数的奇偶性(复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”.)
(1)可以利用奇偶函数的定义判断
(2)利用定义的等价形式, ,()
(3)图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于轴对称。
注意:设,的定义域分别是,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.
函数的周期性
(1)若图像有两条对称轴,则必是周期函数,且一周期为;
(2)若图像有两个对称中心,则是周期函数,且一周期为;
(3)如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴,则函数必是周期函数,且一周期为;
(4)①若f(x+a)=f(x+b) 则T=|b-a|;②函数满足,则是周期为2的周期函数;
③若恒成立,则;④若恒成立,则.
幂函数(形如的函数)
定义域
R
R
R
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
在第Ⅰ象限的增减性
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递减
幂函数的图像及性质
幂函数的图像在第一象限的分布规律是:
①所有幂函数的图像都过点;
②当时函数的图像都过原点;
③当时,的的图像在第一象限是第一象限的平分线(如);
④当时,的的图像在第一象限是“凹型”曲线(如)
⑤当时,的的图像在第一象限是“凸型”曲线(如)
⑥当时,的的图像不过原点,且在第一象限是“下滑”曲线(如)
3、重难点问题探析:幂函数性质的拓展
当时,幂函数有下列性质:
(1)图象都通过点,;
(2)在第一象限内都是增函数;
(3)在第一象限内,时,图象是向下凸的;时,图象是向上凸的;
(4)在第一象限内,过点后,图象向右上方无限伸展。
当时,幂函数有下列性质:
(1)图象都通过点;
(2)在第一象限内都是减函数,图象是向下凸的;
(3)在第一象限内,图象向上与轴无限地接近;向右无限地与轴无限地接近;
(4)在第一象限内,过点后,越大,图象下落的速度越快。
无论取任何实数,幂函数的图象必然经过第一象限,并且一定不经过第四象限。
函数的图像变换
①平移变换:
Ⅰ、水平平移:函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到;
1)y=f(x)y=f(x+h);2)y=f(x) y=f(x-h);
Ⅱ、竖直平移:函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到;
1)y=f(x) y=f(x)+h;2)y=f(x) y=f(x)-h。
②对称变换:
Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到;y=f(x) y=f(-x)
Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到;y=f(x) y= -f(x)
Ⅲ、函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到;y=f(x) y=