文档介绍：矩阵(线性变换)的特征值与特征向量
定义设f 是数域F 上的线性空间V 的一个线
性变换,如果在 V 中存在一个非零向量ξ使得
f ()ξ= λξ00 λ, ∈ F
那么称λ0 为f 的一个特征值,而ξ称为f 的
属于特征值λ0 的一个特征向量。
现在设V 是数域F 上的n 维线性空间,在V 中
取定一个基α12,,,αα
n ,设线性变换f 在这组
基下的矩阵是A ,λ0 ∈ F 是一特征值,它的一个特
征向量ξ在这组基下的坐标是X , 那么我们有
fA()ξ= λξλ00⇔=XX
⎛⎞⎡ x1 ⎤
⎜⎟
⎢ x ⎥
f ()ξ= λξ ff()ξααα= ⎜⎟() , ,
, ⎢ 2 ⎥
0 ⎜⎟12 n ⎢
⎥
⎜⎟⎢⎥
⎝⎠⎣ xn ⎦
⎡ x1 ⎤
⎢⎥
x2 AX= λ X
= ()ff(αα),(),,(
α f )⎢⎥ 0
12 n ⎢
⎥
⎢⎥
⎣ xn ⎦
⎡ x1 ⎤⎡ x1 ⎤
⎢⎥
⎢ x ⎥ x
⎢ 2 ⎥⎢ 2 ⎥
= ()αα,,, α
A ==λξ00 λααα()12,,,
n
12 n ⎢
⎥⎢
⎥
⎢⎥
⎢⎥ x
⎣ xn ⎦⎣ n ⎦
定义:设AFn 是数域上的阶矩阵,矩阵λ EA−
称为A 的特征矩阵。
行列式
λ
λ− aa11−− 12
a1n
−−aaλ
− a
||EA−= 21 22 2n
n
−−aann12
− a nn
称为A 的特征多项式。λ
次代数方程称为的特征方程
n λ EAn −= 0 A .
它的根称为 A 的特征根(或特征值).
矩阵 A 的所有特征根的全体称为 A 的谱,记为σ()A .
(λ EAXn −=) 0 称为矩阵 A 的特征方程组.
fA()ξ= λξλ00⇔=XX
由此可得定理:
λ0 是f 的特征值⇔λ0 是A 的特征值
ξ
是f 的属于λ0 的特征向量⇔ X 是A 的
属于λ0 的特征向量
因此,只要将A 的全部特征值求出来,它们
就是线性变换f 的全部特征值;只要将矩阵A 的
属于λ0 的全部特征向量求出来,分别以它们为坐
标的向量就是f 的属于λ0 的全部特征向量。
例 1 设V 是数域K 上的3维线性空间,f 是V 上
的一个线性变换,f 在V 的一个基α123,,αα下的
矩阵是
⎡ 222−⎤
A =−⎢ 214 −⎥
⎢⎥
⎣⎢ 24− 1⎦⎥
求f 的全部特征值与特征向量。
解:A 的特征多项式为
λλλ− 22− 2
IA−=+−214
−24−+ 1
λλ2
=−(3)(6) +
λ
所以A 的特征值是3 (二重)与−6 。
对于特征值3 ,解齐次线性方程组
(3IAX−)= 0
得到一个基础解系:
TT
[]−210,[ 201]
从而f 的属于3 的极大线性无关特征向量组是
ξ112213=−2,2αα+ ξαα= +
于是f 的属于3 的全部特征向量是
kk11ξ+ 22ξ,, kkK 1 2∈
这里为数域中不全为零的数对。
kk12, K
对于特征值−6 ,解齐次线性方程组
(6− IAX−= ) 0
得到一个基础解系:
T
[12− 2]
从而f 的属于−6 的极大线性无关特征向量组是
ξ31= ααα+−22 2 3
于是f 的属于−6 的全部特征向量
kkKξ3 , ∈
这里k 为数域K 中任意非零数。