文档介绍：释疑解难无穷级数
问题1 试判断下列命题是否正确?
(1)若,则必定收敛。
(2)设,是正项级数,,为大于零的常数,则,同敛散。
答:均不正确。
(1)是级数收敛的必要条件,不能判断的收敛,但它的逆否命题成立,可以用来判断的发散,即若,则发散。
(2)反例,考虑。
问题2 下列运算是否正确?
若均收敛,且对一切自然数有,证明:也收敛。
证明:且均收敛,由比较判别法知收敛。
答:不正确。
因为证明中使用了比较判别法,而比较判别法只适用于正项级数,题目中并未指出级数是正项级数,正确方法如下:
证明:由条件可得,故与均为正项级数。与收敛,从而收敛,由正项级数的比较判别法,也收敛,而,所以也收敛。
问题3 设均为正项级数,满足,(),且级数
收敛,证明收敛。下面证明过程正确吗?
证明:收敛, , 又,
由比值判别法知,收敛。
答:不正确。
因为比值判别法的逆命题不成立,即根据正项级数收敛,不能推出存在并且小于1的结论。(例如,收敛,但),同时由存在,也不能推出存在的结论。
正确证明如下:
由,推出,于是,
又收敛,根据正项级数的比较判别法知收敛。
问题4 幂级数的收敛域具有什么特点?
答:,至少为收敛点。
,区间端点为,收敛域可能是闭区间,开区间或半开区间,也可能是实数域(收敛半径)或孤立点。
,有若幂级数在处收敛,则在即内必绝对收敛,而若在处发散,则在之外必发散。
问题5 设函数在点的某一邻域内具有任意阶导数,试问是否总能在点展开为泰勒级数?
答:首先必须明确两个概念:
(1)在点的泰勒级数是指幂级数;
(2)在点能展开为泰勒级数是指存在的某个邻域,
总有,
即所展开成的级数必须收敛于。
以上是二个不同的概念,事实上只要在点有任意阶导数,就可以写出泰勒级数,但根据收敛定理知,在内收敛于的充分必要条件是:在内,的泰勒公式的余项,若没有的条件,在点就不一定能展开为泰勒级数。
例如在点各阶导数都存在,且等于零,事实上
由归纳法(略),得
由于,因此在点的泰勒级数为,其和函数为。说明在点的泰勒级数在邻域内不收敛于,因此,在点不能展开为幂级数。
问题6 怎样用间接法将函数展开为幂级数?
答:将展开为的幂级数指幂级数的形式为,因此,展开时常借助于马克劳林级数
,而将展开为的幂级数所指的幂级数形式为,故而常常借助于泰勒级数。
间接展开法是通过变形将函数化为适当的形式,利用已知的展开式来完成的。
,可利用展开式展开:
例1 将展开为的幂级数。
解:可利用变量变换,令,得
或
也可将分解为
。
例2 将分别展开为的幂级数和的幂级数。
解:将化为部分分式之和:
(1)展开为的幂级数
(2)展开为的幂级数
先将化为如下形式:
,
(由,得)
,
,。
对于(为质因式,在实数范围内不能再分解因式),一般应用直接展开法或待定系数法,但对一些特殊情况,也可用间接法展开,例如
例3 将展开为的幂级数。
解:由于时,有
再求导,利用幂级数