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第五篇 数 列
第2讲 等差数列及其前n项和
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2013·温州二模)记Sn为等差数列{an}前n项和，若－＝1，则其公差d＝ ( )．
A. B．2
C．3 D．4
解析 由－＝1，得－＝1，
即a1＋d－＝1，∴d＝2.
答案 B
2．(2014·潍坊期末考试)在等差数列{an}中，a5＋a6＋a7＝15，那么a3＋a4＋…＋a9等于 ( )．
A．21 B．30
C．35 D．40
解析 由题意得3a6＝15，a6＝＋a4＋…＋a9＝7a6＝7×5＝35.
答案 C
3．(2013·榆林模拟)在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为 ( )．
A．37 B．36
C．20 D．19
解析 由am＝a1＋a2＋…＋a9，得(m－1)d＝9a5＝36d⇒m＝37.
答案 A
4．(2014·吉安模拟){an}为等差数列，Sn为其前n项和，已知a7＝5，S7＝21，则S10＝ ( )．
A．40 B．35
C．30 D．28
解析 设公差为d，则由已知得S7＝，即21＝，解得a1＝1，所以a7＝a1＋6d，所以d＝.所以S10＝10a1＋d＝10＋×＝40.
答案 A
5．(2013·淄博二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a13＝S13＝13，则a1＝ ( )．
A．－14 B．－13
C．－12 D．－11
解析 在等差数列中，S13＝＝13，所以a1＋a13＝2，即a1＝2－a13＝2－13＝－11.
答案 D
二、填空题
6．(2013·肇庆二模)在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________.
解析 a25－a15＝10d＝66－33＝33，∴a35＝a25＋10d＝66＋33＝99.
答案 99
7．(2014·成都模拟)已知等差数列{an}的首项a1＝1，前三项之和S3＝9，则{an}的通项an＝________.
解析 由a1＝1，S3＝9，得a1＋a2＋a3＝9，即3a1＋3d＝9，解得d＝2，∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
答案 2n－1
8．(2013·浙江五校联考)若等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N＋)，若a2∶a3＝5∶2，则S3∶S5＝________.
解析 ＝＝＝×＝.
答案 3∶2
三、解答题
9．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＝＋2(n－1)(n∈N＋)．
求证：数列{an}为等差数列，并求an与Sn.
证明 由an＝＋2(n－1)，得Sn＝nan－2n(n－1)(n∈N＋)．
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1－4(n－1)，
即an－an－1＝4，
故数列{an}是以1为首项，4为公差的等差数列．
于是，an＝4n－3，Sn＝＝2n2－n(n∈N＋)．
10．(2013·福建卷)已知等差数列{an}的公差d＝1，前n项和为Sn.
(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；
(2)若S5＞a1a9，求a1的取值范围．
解 (1)因为数列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比数列，所以a＝1×(a1＋2)，即a－a1－2＝0，解得a1＝－1或2.
(2)因为数列{an}的公差d＝1，且S5＞a1a9，所以5a1＋10＞a＋8a1，即a＋3a1－10＜0，解得－5＜a1＜2.
故a1的取值范围是(－5,2)．
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2014·咸阳模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝ ( )．
A．12 B．14
C．16 D．18
解析 Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(
a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝＝210，得n＝14.
答案 B
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是 ( )．
A．5 B．6
C．7 D．8
解析 法一 由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a7＞0，a8＜0，故n＝7时，Sn最大．
法二 由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n，根据二次函数的性质，知当n＝7时，Sn最大．
法三 根据a1＝13，S3＝S11，则这个数列的公差不等于零，且这个数列的和先是单调递增然后又单调递减，根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及二次函数图像的对称性，得只有当n＝＝7时，Sn取得最大值．
答案 C
二、填空题
3．(2014·九江一模)正项数列{an}满足：a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a(n∈N＋，n≥2)，则a7＝________.
解析 因为2a＝a＋a(n∈N＋，n≥2)，所以数列{a}是以a＝1为首项，以d＝a－a＝4－1＝3为公差的等差数列，所以a＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝，n≥＝＝.
答案
三、解答题
4．(2013·西安模拟)已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝，是否存在非零实数c使得{bn}为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，且d＞0，
由等差数列的性质，得a2＋a5＝a3＋a4＝22，
所以a3，a4是关于x 的方程x2－22x＋117＝0的解，所以a3＝9，a4＝13，易知a1＝1，d＝4，故通项为an＝1＋(n－1)×4＝4n－3.
(2)由(1)知Sn＝＝2n2－n，所以bn＝＝.
法一 所以b1＝，b2＝，b3＝(c≠0)．
令2b2＝b1＋b3，解得c＝－.
当c＝－时，bn＝＝2n，当n≥2时，bn－bn－1＝2.
故当c＝－时，数列{bn}为等差数列．
法二 由bn＝＝＝，
∵c≠0，∴可令c＝－，得到bn＝2n.
∵bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N*)，
∴数列{bn}是公差为2的等差数列．
即存在一个非零常数c＝－，使数列{bn}也为等差数列．
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