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第七节 函数的图象
课标解读
考向预测
，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
2．会画简单的函数图象．
3．会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.
近三年高考中常常考查图象变换问题，多以给图变图、求解析式等多种形式呈现，难度较小．函数图象的应用主要是利用图象研究函数的性质，考查解决有关问题(如方程的根、解不等式)的能力，体现了数形结合的解题思想，难度较大．预计2025年高考函数的图象仍会出题，一般在选择题或填空题中出现，难度起伏较大.
必备知识——强基础
1．描点法作图
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．图象变换
图象变换包括图象的平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换等．
(1)平移变换(左加右减，上加下减)
把函数f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位长度，得到函数f(x＋a)的图象；向右平移a(a>0)个单位长度，得到函数f(x－a)的图象．
把函数f(x)的图象向上平移a(a>0)个单位长度，得到函数f(x)＋a的图象；向下平移a(a>0)个单位长度，得到函数f(x)－a的图象．
(2)伸缩变换
①把函数y＝f(x)图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，得到y＝f(wx)(0<w<1)的图象；横坐标缩短到原来的倍，得到y＝f(wx)(w>1)的图象；
②把函数y＝f(x)图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的w倍，得到y＝wf(x)(w>1)的图象；纵坐标缩短到原来的w倍，得到y＝wf(x)(0<w<1)的图象．
(3)对称变换
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函数y＝f(x)的图象：
关于x轴对称得到函数y＝－f(x)的图象；
关于y轴对称得到函数y＝f(－x)的图象；
关于原点对称得到函数y＝－f(－x)的图象；
关于直线y＝x对称得到函数y＝f－1(x)(反函数)的图象．
简单地记为：x轴对称y要变，y轴对称x要变，原点对称都要变．
(4)翻折变换
①把函数y＝f(x)图象上方部分保持不变，下方的图象对称翻折到x轴上方，得到函数y＝|f(x)|的图象；
②保留y轴右边的图象，擦去左边的图象，再把右边的图象对称翻折到左边，得到函数y＝f(|x|)的图象．
1．函数图象自身的对称关系
(1)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
(2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．
2．两个函数图象之间的对称关系
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．( )
(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0，且a≠1)的图象相同．( )
(3)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．( )
答案 (1)× (2)× (3)√
2．小题热身
(1)函数f(x)＝的大致图象是( )
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答案 A
解析 当x>0时，f(x)>0；当x<0时，f(x)<0，可排除B，C，.
(2)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝－x＋1 B．f(x)＝＋x－1
C．f(x)＝xln x－x＋1 D．f(x)＝xln x＋x－1
答案 C
解析 当x＝2时，－2＋1＝ln －1<0，＋2－1＝ln ＋1>1，2ln 2＋2－1>1，故排除A，B，.
(3)为了得到函数y＝lg 的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点向左平移________个单位长度，再向下平移________个单位长度．
答案 3 1
解析 因为y＝lg ＝lg (x＋3)－1，所以y＝lg x的图象y＝lg (x＋3)的图象y＝lg (x＋3)－1的图象．
(4)(2024·山西太原五中高三模拟)若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)＝________．
答案 －1
解析 由f(－1)＝ln (－1＋a)＝0，得a＝2，又直线y＝ax＋b过点(－1，3)，则2×(－1)＋b＝3，解得b＝<－1时，f(x)＝2x＋5，则f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1.
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考点探究——提素养
考点一 作函数的图象
例1作出下列函数的图象．
(1)y＝；(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1.
解 (1)作出y＝(x≥0)的图象，再将y＝(x≥0)的图象以y轴为对称轴翻折到y轴的左侧，即得y＝的图象，如图1中实线部分．
(2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图2中实线部分．
(3)因为y＝＝2＋，故函数图象可由y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图3.
(4)y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，即得函数y＝x2－2|x|－1的图象，如图4.
【通性通法】
函数图象的画法
直接法
当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象
转化法
含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象
图象
变换法
若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称、伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本初等函数的要先变形
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，应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响
【巩固迁移】
1．分别画出下列函数的图象：
(1)y＝|lg (x－1)|；(2)y＝2x＋1－1；
(3)y＝x2－|x|－2.
解 (1)首先作出y＝lg x的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y＝lg (x－1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝|lg (x－1)|的图象，如图1中实线部分．
(2)将y＝2x的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到y＝2x＋1－1的图象，如图2所示．
(3)y＝x2－|x|－2＝其图象如图3所示．
考点二 函数图象的辨别(多考向探究)
考向1根据函数解析式辨别图象
例2 (2024·湖北武汉高三模拟)函数f(x)＝的部分图象可能为( )
答案 A
解析 因为函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝＝＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，故D不正确；当x∈(0，π)时，sinx>0，则f(x)>0，故B不正确；当x∈(π，2π)时，sinx<0，故f(x)<0，故C不正确．故选A.
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【通性通法】
识图的三种常用方法
(1)抓住函数的性质，定性分析
①从函数的定义域，判断图象左右的位置；从函数的值域，判断图象上下的位置；
②从函数的单调性(有时可借助导数判断)，判断图象的变化趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
④从函数的周期性，判断图象的循环往复；
⑤从函数的极值点判断函数图象的变化．
(2)抓住函数的特征，定量计算：注意联系基本初等函数的图象，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．
(3)根据实际背景、图形判断函数图象的方法
①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；
②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．
【巩固迁移】
2．已知函数y＝f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，且满足f(x)－f(－x)＝0，当x＞0时，f(x)＝ln x－x＋1，则函数y＝f(x)的大致图象为( )
答案 D
解析 由f(x)－f(－x)＝0，得函数f(x)为偶函数，排除A，B；又当x>0时，f(x)＝ln x－x＋1，所以f(1)＝0，f(e)＝2－e<.
考向2根据图象辨别函数解析式
例3 (2024·湖北襄阳部分学校高三期中)已知函数f(x)＝cosx，g(x)＝，若函数h(x)在上的大致图象如图所示，则h(x)的解析式可能是( )
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A．h(x)＝f(x)＋g(x) B．h(x)＝f(x)－g(x)
C．h(x)＝ D．h(x)＝f(x)g(x)
答案 D
解析 易知f(x)＝cosx为偶函数，由g(－x)＝＝－＝－g(x)，得g(x)为奇函数，由图象可知，该函数是奇函数，因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(x)±g(x)是非奇非偶函数，A，B不符合题意；因为当x＝0时，y＝无意义，所以C不符合题意．故选D.
【通性通法】
根据图象辨别函数解析式的策略
(1)从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域．
(2)从图象的变化趋势，观察函数的单调性．
(3)从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性．
(4)从图象的循环往复，观察函数的周期性．
【巩固迁移】
3．已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝xsinπx B．f(x)＝(x－1)sinπx
C．f(x)＝xcos[π(x＋1)] D．f(x)＝(x－1)cosπx
答案 B
解析 对于A，f(－x)＝－xsin(－πx)＝xsinπx＝f(x)，所以函数f(x)＝xsinπx为偶函数，故排除A；对于C，f(x)＝xcos[π(x＋1)]＝－xcosπx，则f(－x)＝xcosπx＝－f(x)，所以函数f(x)＝xcos[π(x＋1)]为奇函数，故排除C；对于D，f(0)＝－1≠0，.
考向3根据图象辨别函数的图象
例4 (2024·广东汕头高三月考)若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为( )
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答案 C
解析 y＝f(x)的图象y＝f(x＋1)的图象y＝－f(x＋1)的图象．故选C.
【通性通法】
解决根据函数图象辨别函数图象问题的关键是分析出要求的函数图象与已知的函数图象之间的关系，即已知的函数图象经过怎样的变换可以得到要求的函数图象，若是平移变换要注意平移的方向，若是伸缩变换要注意是伸还是缩，若涉及翻折变换要注意应翻折哪一段及翻折的方向．
【巩固迁移】
4．(多选)已知函数f(x)＝则下列图象正确的是( )
答案 ABD
解析 先作出y＝f(x)＝的图象，如图所示，故A正确；对于B，y＝f(x－1)的图象是由y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的，故B正确；对于C，当x>0时，y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)的图象相同，且函数y＝f(|x|)的图象关于y轴对称，故C错误；对于D，y＝f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于y轴对称，故D正确．故选ABD.
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考向4借助动点探究函数的图象
例5如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AD＝DC＝2，CB＝，动点P从点A出发，按照A→D→C→B路径沿边运动，设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致是( )
答案 A
解析 点P在AD上时，△APB是底边AB不变，高在增加，图象成一次函数形式递增，排除C，D；点P在DC上时，△APB是底边AB不变，高不变，图象是一条水平直线；点P在CB上时，AB不变，高在减小，图象是递减的一次函数图象，故选A.
【通性通法】
借助动点探究函数图象，解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象；也可采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征，从而作出选择．
【巩固迁移】
5．(2024·江苏金陵中学、海安中学、南京外国语学校高三模拟)如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动(转到角不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是( )
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答案 D
解析 观察题图，可知面积S的变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知D符合要求．故选D.
考点三 函数图象的应用(多考向探究)
考向1根据图象研究函数的性质
例6已知函数f(x)＝，则( )
A．f(x)在(－1，＋∞)上单调递增
B．f(x)的图象关于点(－1，1)对称
C．f(x)为奇函数
D．f(x)的图象关于直线y＝x对称
答案 D
解析 f(x)＝＝＝－1，f(x)的图象可以看作是函数g(x)＝的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的，先画出g(x)＝的图象，再进行平移画出f(x)＝－1的图象，明显可见，原函数g(x)＝为奇函数，图象关于点(0，0)对称，且在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，所以f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，图象关于点(－1，－1)对称，为非奇非偶函数，图象关于直线y＝x对称，所以D正确，A，B，C错误．故选D.
【通性通法】
利用图象研究函数性质问题的思路