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第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
课标解读
考向预测
：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.
，利用定义推导出诱导公式，并会简单应用.
从近几年的高考来看，本部分内容主要考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决求值问题，常与三角恒等变换相结合，可起到化简三角函数式的作用，预计2025年高考可能会与三角恒等变换结合考查.
必备知识——强基础
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
(2)商数关系：＝tanα．
2．三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
α＋k·2π(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sinα
－sinα
－sinα
sinα
cosα
cosα
余弦
cosα
－cosα
cosα
－cosα
sinα
－sinα
正切
tanα
tanα
－tanα
－tanα
—
—
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
记忆规律
奇变偶不变，符号看象限
1．和积互化变形：(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.
2．弦切互化变形：sin2α＝＝，cos2α＝＝，sinαcosα＝＝.
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1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.( )
(2)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．( )
(3)若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，则cosθ＝.( )
答案 (1)× (2)× (3)×
2．小题热身
(1)已知α为锐角，且sinα＝，则cos(π＋α)＝( )
A．－ B．
C．－ D．
答案 A
解析 因为α为锐角，所以cosα＝＝，故cos(π＋α)＝－cosα＝－.故选A.
(2)( T2改编)已知tanα＝2，则＝( )
A． B．－
C． D．－
答案 A
解析 原式＝＝＝.故选A.
(3)下列三角函数的值中(k∈Z)，与sin的值相同的个数是( )
①sin；②cos；③sin；④cos；⑤sin.
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 C
解析 对于①，sin＝sin，当k为奇数时，sin＝sin；当k为偶数时，sin＝－sin，不满足题意．对于②，cos＝cos＝sin，满足题意．对于③，sin＝sin，满足题意．对于④，cos＝cos＝－cos＝－sin，不满足题意．对于⑤，
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sin＝sin＝sin，满足题意．故选C.
(4)( T5改编)化简·cos(2π－α)的结果为________．
答案 sinα
解析 原式＝·cosα＝sinα.
考点探究——提素养
考点一 同角三角函数基本关系式的应用(多考向探究)
考向1“知一求二”问题
例1 已知角α的终边在第三象限，且tanα＝2，则sinα－cosα＝( )
A．－1 B．1
C．－ D．
答案 C
解析 由角α的终边在第三象限，则sinα<0，cosα<0，由题设知解得cosα＝－，sinα＝－，所以sinα－cosα＝－＋＝－.故选C.
【通性通法】
利用同角基本关系式“知一求二”的方法
注意：由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，当利用“平方关系”公式求平方根时，会出现两解，需根据角所在的象限判断三角函数值的符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．
【巩固迁移】
1．(2024·广东梅州模拟)已知cosα＝，且α为第四象限角，则tanα＝( )
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A．－2 B．±2
C．± D．
答案 A
解析 ∵α为第四象限角，∴sinα<0，∴sinα＝－＝－，∴tanα＝＝－.
考向2“弦切互化”问题
例2 已知tanθ＝2，则的值为( )
A． B．
C． D．2
答案 C
解析 由题意，得＝＝＝＝.故选C.
【通性通法】
若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型，形如，asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x等类型可进行弦化切．
【巩固迁移】
2．(2023·苏州模拟)已知＝5，则cos2α＋sinαcosα＝( )
A． B．－
C．－3 D．3
答案 A
解析 由＝5，得＝5，可得tanα＝2，则cos2α＋sinαcosα＝＝＝.故选A.
考向3sinα±cosα，sinαcosα之间关系的应用
例3 (2023·广东潮州模拟)已知<x<π，sinx＋cosx＝，则sinx－cosx＝________．
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答案
解析 由(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx＝，得2sinxcosx＝－，所以(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝，因为<x<π，所以sinx>cosx，故sinx－cosx＝.
【通性通法】
“sinα±cosα，sinαcosα”关系的应用
sinα±cosα与sinαcosα通过平方关系联系到一起，即(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，sinαcosα＝，sinαcosα＝.因此在解题时已知一个用方程思想可求另外两个．
【巩固迁移】
3．(2023·山东聊城模拟)已知α∈，且sinα＋cosα＝，则tanα的值为________．
答案 －
解析 ∵sinα＋cosα＝，∴sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝，∴sinαcosα＝－，∴sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝＝(sinα－cosα)2，又sinαcosα<0，α∈，∴α∈，∴sinα<0，cosα>0，∴cosα－sinα＝，∴sinα＝－，cosα＝，∴tanα＝－.
考点二 诱导公式的应用
例4 (1)的值为( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
答案 B
解析 原式＝＝＝－·＝－.
(2)已知sin＝，其中α∈，则cos＝________．
答案 －
解析 cos＝cos＝－sin＝－.
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【通性通法】
1．利用诱导公式解题的一般思路
(1)化绝对值大的角为锐角；
(2)角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍．
2．常见的互余和互补的角
(1)互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等；
(2)互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等．
【巩固迁移】
4．(2024·湖南长郡中学高三质量检测)已知f(α)＝，则f＝________．
答案
解析 因为f(α)
＝
＝＝cosα，
所以f＝cos＝cos＝.
考点三 同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用
例5 (1)已知sin＝，且α∈，则cos的值为( )
A． B．－
C． D．－
答案 C
解析 由sin＝sin＝sin＝，而α∈，∴－α∈，∴cos＝＝.故选C.
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(2)(2023·辽宁葫芦岛模拟)若＝，则tanθ＝________．
答案 －3
解析 因为＝＝，所以＝，解得tanθ＝－3.
【通性通法】
利用诱导公式与同角三角函数基本关系解题的思路和要求
(1)思路：①分析结构特点，选择恰当的公式；②利用公式化成同角三角函数；③整理得最简形式．
(2)要求：①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．
【巩固迁移】
5．已知cos167°＝m，则tan193°＝( )
A． B．
C．－ D．－
答案 C
解析 tan193°＝tan(360°－167°)＝－tan167°＝－＝－，因为cos167°＝m，所以sin167°＝，所以tan193°＝－.故选C.
6．已知cosα＝－，且α∈，则＝________．
答案
解析 ∵cosα＝－，α∈，
∴sinα＝＝，∴
＝＝
＝＝.
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课时作业
一、单项选择题
1．(2023·广西桂林模拟)sin9330°的值为( )
A． B．－
C． D．－
答案 B
解析 sin9330°＝sin(360°×25＋330°)＝sin330°＝sin(360°－30°)＝－sin30°＝－.故选B.
2．(2023·吉林长春质检)已知sin＝，θ∈(0，π)，则tanθ＝( )
A．2 B．
C．－2 D．－
答案 C
解析 依题意，得sin＝－cosθ＝，则cosθ＝－.由于θ∈(0，π)，所以sinθ＝＝，所以tanθ＝＝－.
3．已知sin＝，则cos的值为( )
A． B．－
C． D．－
答案 D
解析 ∵＋α－＝，∴cos＝cos＝－sin＝－.故选D.
4．(2023·江西南昌模拟)已知3sin＋sin(θ＋π)＝0，θ∈(－π，0)，则sinθ＝( )
A．－ B．－
C． D．
答案 A
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解析 ∵3sin＋sin(θ＋π)＝0，∴3cosθ－sinθ＝0，∵θ∈(－π，0)，sin2θ＋cos2θ＝1，∴sinθ＝－.故选A.
5．若tanθ＝－2，则cos2θ－sin2θ＝( )
A．－ B．
C．－ D．
答案 C
解析 解法一：由题意知tanθ＝－2，所以解得cos2θ＝，所以cos2θ－sin2θ＝cos2θ－(1－cos2θ)＝2cos2θ－1＝2×－1＝－.故选C.
解法二：已知tanθ＝－2，所以cos2θ－sin2θ＝＝＝－.故选C.
6．已知sinα，cosα是方程3x2－2x＋a＝0的两个根，则实数a的值为( )
A． B．－
C． D．
答案 B
解析 由题意，得sinα＋cosα＝，sinαcosα＝，所以sin2α＋cos2α＝(sinα＋cosα)2－2sinαcosα＝－＝1，解得a＝－.故选B.
7．已知锐角α终边上一点A的坐标为(2sin3，－2cos3)，则角α的弧度数为( )
A．3－ B．－3
C．π－3 D．－3
答案 A
解析 tanα＝＝－＝tan，又0<3－<，α为锐角，所以α＝3－.故选A.
8．已知sinα＋cosα＝，则＝( )
A．－ B．
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C．－ D．
答案 C
解析 由题意知sinα＋cosα＝，有2sinαcosα＝－，所以＝＝·＝＝－.故选C.
二、多项选择题
9．已知sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，θ∈，则θ的值可能是( )
A．－ B．－
C． D．
答案 AD
解析 ∵sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，∴－sinθ＝cosθ，∴tanθ＝－，∵θ∈，∴θ＝－或θ＝.故选AD.
10．在△ABC中，下列结论正确的是( )
A．sin(A＋B)＝sinC
B．sin＝cos
C．tan(A＋B)＝－tanC
D．cos(A＋B)＝cosC
答案 ABC
解析 在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，A正确；sin＝sin＝cos，B正确；tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC，C正确；cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，D错误．故选ABC.
11．给出下列四个结论，其中正确的是( )
A．sin(π＋|α|)＝－sinα成立的条件是角α是锐角
B．若cos(nπ－α)＝(n∈Z)，则cosα＝
C．若α≠(k∈Z)，则tan＝－
D．若sinα＋cosα＝1，则sinnα＋cosnα＝1