文档介绍：第四章线性方程组
基本内容概要
§ 线性方程组的基本概念
§ Gauss消元法
§ 齐次线性方程组的解的结构
§ 非齐次线性方程组解的结构
求解线性方程组的问题被认为是数学中最重要的问题之一,统计表明,在科学及其工程应用中,有超过75%的问题会涉及线性方程组,更有大量复杂的数学模型是靠简化为线性方程组来解决的,在这一章中,我们将用前面已建立起来的矩阵和向量理论作为数学工具,讨论线性方程组的求解方法,并介绍的结构理论。
求解线性方程组的重要性
线性方程组主要研究以下三个问题
3. 如果线性方程组有多个解,如何将其解用通解表示出来?
1. 线性方程组有解的充分必要条件是什么?
2. 如果线性方程组有解,到底有多少解?如何求得其解?
§ 线性方程组的基本概念
线性方程组的一般形式
1. 含m个方程,n个未知数的线性方程组的一般形式为:
其中为未知量, 和为常数。
称为型线性方程组。
令
则线性方程组可简记为
2. 非齐次线性方程组
若线性方程组
中右边的系数不全为零
,即存在
,称
为非齐次线性方程组
3. 齐次线性方程组
若线性方程组
中右边的系数全为零,
即
称为齐次线性方程组.
4. 线性方程组的解
线性方程组()的解是由 n元向量
构成,它满足线性方程组()中的每个方程。
例1
下列方程组都是线性方程组。
(1)
(2)
(3)
其中,(1)和(3)是非齐次线性方程组,(2)是3×3型的齐次线性方程组。
例2
2×2型线性方程组的一般形式为:
其中每一个方程都表示平面上一条直线,一个2×2型线性方程组中两直线在平面上的位置有下列三种情形:
(1)两直线相交于一点,则相交点就是方程组的惟一解;
(2)两直线平行,则该方程无解;
(3)两直线重合,则直线上任何一个点都是方程
组的解。
例3
3×3型的齐次线性方程组一般形式为:
其中每一个方程都表示一个以向量
为法矢量,过原点的平面。而且第i个方程可用内积表示为:
其中,
因此,3×3型齐次线性方程组的解是同一个与向量
均正交的向量X。
(1)若不共面,则方程组只有零解
(2)若共面而但不共线,则垂直于
的向量X均是解,这些解彼此平行。
(3)若共线,则以为法矢量的平面上的所有向量都是解,即解向量组成一个平面。
同例2一样也有下面的事实:
在实际中,我们有许多方程组在形式上不相同,但解都是一样的。如例2中,两直线重合时,一条直线所给出的方程组与两直线给出的方程组形式不同,但解一样。