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微积分初步形成性考核作业（三）
———不定积分、极值应用问题
一、填空题
1．若 f (x) 的一个原函数为
ln x2
f (x) =
，则
-1/x² 。
2．若 f (x) 的一个原函数为
x - e
，则 f ¢(x) = 1+ 2e 2
-2x
- x
。
ò
3．若 f
(x)dx = xe + c
f (x) =
2xe 2x(1+ )
x
，则
。
x
ò (x)dx = sin 2x + c ，则
4．若 f
2cos2x
。
f (x)
ò (x)dx = xln x + c ，则
1/x
-4cos2x
。
f ¢(x) =
f ¢(x) =
5．若 f
ò (x)dx = cos 2x + c ，则
6．若 f
。
。
( )
1
2
d e 2dx =
x2
x2
x e - e + c
7． ò
-x
2
ò(sin x)¢dx =
8．
。
ò (x)dx = F(x) + c ，则 ò f (2x - 3)dx =
9．若 f
f(2x-3)/2+c
。
ò
ò
10．若 f (x)dx = F(x) + c ，则 xf (1- x
)dx = (-1/2)F(1-x^2)+c
2
。
二、单项选择题（每小题 2 分，共 16 分）
1．下列等式成立的是（A）．
d
∫
f (x)dx = f (x)
∫
′( )d
( )
A．
B． f x x = f x
dx
∫
d f (x)dx = f (x)
∫
df (x) = f (x)
C．
D．
∫
( )
3 若 f
(x)dx =x e +c
，则 f x =（A）.
2
2 x
2xe (1+x)
B. 2x2e2x
A.
2
x
2xe2x
D. xe
C.
2x
∫
4 若 f (x) =x + x (x >0) ，则
f ′(x)dx =（A）.
A. x + x +c
B. x
2
+x +c
1
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3
+ x +c
1
2
2
x + x +c
3
3
C. x
2
D.
2
2
2
2
3
5 以下计算正确的是（ A ）
d3x
dx
3 dx =
d(1
= +x2
)
A．
B．1
D．
x
ln 3
+x
2
dx =d x
1
ln xdx =d( )
C．
x
x
∫
′′( )d
6 xf x x =（ A ）
′( ) - ( )
A. xf x f x +c
′( )
B. xf x +c
1
C.
2
′( )
x f x +c
D. (x +1) f ′(x) +c
2
∫
解： xf x x = xdf x =xf x
∫
∫
′′( )d
′( )
′( )
′( ) ′( )
f x dx =xf x
( )
f x +c
d a dx
∫
=（A ）．
7
2
x
a 2x
-2a lnadx
a dx
a dx +c
D．
2x
2x
2x
A．
B．
C．
1
1
f (x)e dx e
C
( )
8 果等式 ∫
=
+ ，则 f x =（ B ）
x
x
- 1
- 1
B.
1
1
A.
C.
D.
x
x2
x
x2
1
1
1
解：两边求导，得： f
(x)e = e
x
x
x
2
三、计算题（每小题 7 分，共 35 分）
3
∫
x3 +xsin x
dx
1．
x
3 - x + xsin x
1
ò
ò ò ò
dx xdx
- + sin
3
dx = 3
解：
xdx
x
x
2
3
= 3ln x - x - cos x + c
2
3
(2x -1) dx
2． ò
10
2
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1
1 1
ò
ò
(2x -1) dx = (2x -1) d(2x -1) = ×
(2x -1) + c
解：
10
10
10+1
2
2 10 +1
1
= (2x -1) + c
11
22
sin 1
ò
xdx
3．
x2
1
sin
1 1
dx = - sin d( ) = cos + c
x x
1
ò
x
ò
解：
x2
x
òxsin 2xdx
4．
1
1
ò
ò
ò
xsin 2xdx = - xd cos 2x = - (xcos 2x - cos 2xdx)
解：
2
1
2
1
= - xcos 2x + sin 2x + c
2
4
ò
xe dx
5．
-x
ò
ò
ò
xe dx = - xde = -(xe - e dx) = -xe - e + c
解：
-x
-x
-x
-x
-x
-x
四、极值应用题（每小题 12 分，共 24 分）
1．
设矩形的周长为 120 厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形
的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。
x
解：设矩形的一边长为 厘米，则另一边长为
60 - x 厘米，以60 - x 厘米的边为轴旋转
V
一周得一圆柱体，则体积 为：
V = x (60 - x)
V = 60px -px3
p
，即：
2
2
dV
dV
= 120px - 3px
= 0，得：
2
，令
dx
dx
x = 0 （不合题意，舍去）， x = 40 ，这时60 - x = 20
40
60
由于根据实际问题，有最大体积，故当矩形的一边长为 厘米、另一边长为 厘
米时，才能使圆柱体的体积最大。
2．
欲用围墙围成面积为 216 平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔
成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？
216
米，从而所用建筑材料为：
x
解：设矩形的长为 米，则矩形的宽为
x
216
648
L = 2x + 3×
L = 2x +
，即：
x
x
dL
dx
648
dL
216
= 2 -
= 0得： x = 18（取正值），这时
= 12
，令
x2
dx
x
18
由于根据实际问题，确实有最小值，故当矩形的长为 米，宽为 米时，才能使
12
所用建筑材料最省
五、证明题（本题 5 分）
函数 f (x) = x - ex 在（- ¥,0) 是单调增加的．
3
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¢( ) = 1-
证明：因为 f x
e ，当 x （
Î - ¥,0)
x
¢( ) = 1- > 0
时， f x
e
x
在（- ¥,0) 是单调增加的．
所以函数 f
(x) = x - e
x
4