文档介绍：高等代数下半册复****br/>2
一、二次型及其矩阵表示
二、化二次型为标准型
三、正定二次型的判定
第五章二次型
二次型
对称矩阵
标准形
对角矩阵
合
同
变
换
线
性
替
换
非
退
化
复
二
次
型
的
规
范
形
实
二
次
型
的
规
范
形
正惯性指数
=变元个数 n
单位矩阵
正定二次型
正定矩阵
顺序主子式
全大于零
合
同
定理1
定理2
定
理
7
定理3
定理4
定理6
负定、半正定、半负定、不定二次型
定理8
C´AC=B
X=CY
3
把n阶实对称矩阵按合同分类,可以分成(n+1)(n+2)/2类.
把n阶复对称矩阵按合同分类,可以分成n+1类.
定理4 实数域上每一 n 元二次型都可经过非退化的线性替换化成规范形:
定理3 复数域上每一 n 元二次型都可经过非退化的线性替换化成规范形:
1、求二次型的标准形;实、复二次型的规范形.
方法:
1)配方法; 2)合同变换法;3)初等变换法;
4)正交替换法.
基本题型
5
2、实二次型的正定性的判断;
实二次型其它类型的判断.
方法:
1)用正定二次型的定义;
2)用非退化线性替换(或合同变换)化二次型为标准
形,从而求得其正惯性指数以判定原二次型的正定性;
3)计算矩阵的各级顺序主子式,若全大于零,则正定.
4)计算矩阵的特征值,若全大于0,则正定.
第六章线性空间
一、概念
第六章线性空间
如何判断非空集合V为数域P上的线性空间?
V上定义的加法与数量乘法运算封闭;
满足如下八条运算规则:
加法四条:
数乘两条:
混合两条:
第六章线性空间
什么叫线性空间V的维数、基与坐标?
n维:有n个线性无关向量,没有更多无关向量
基:这n个线性无关的向量
坐标:任何向量在基下的线表系数
第六章线性空间
基变换
A为由基I到基II的过渡矩阵,可逆;
A中各列表示基II中各向量在基I中的坐标
基II
基I
坐标变换
X=AY,其中Y为向量在基II下坐标,而
X为该向量在基I坐标